弦论

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弦论，即弦理论（string theory），是理论物理学上的一个尚未被证实的理论。弦论要解决的问题是十分复杂困难的，如了解为何宇宙中有这些物质和交互作用、为何时空是四维的。因为没有其它任何一个理论在这个目标上的进展可与之比拟，弦论无疑地仍是值得继续努力研究。

弦论的出发点是，如果我们有更高精密度的实验，也许会发现基本粒子其实是条线。这条线或许是一个线段，称作“开弦”（open string），或是一个循环，称作“闭弦”（closed string）。不论如何，弦可以振动，而不同的振动态会在精密度不佳时被误认为不同的粒子。各个振动态的性质，对应到不同粒子的性质。例如，弦的不同振动能量，会被误认为不同粒子的质量。即认为自然界的基本单元不是电子、光子、中微子和夸克之类的粒子。

“弦论是现在最有希望将自然界的基本粒子和四种相互作用力统一起来的理论。”（引自《环球科学》2007年第三期《宇宙是堆三角形？》）


历史



发现

弦论的发现不同于过去任何物理理论的发现。 一个物理理论形成的经典过程是从实验到理论，在爱因斯坦广义相对论之前的所有理论无不如此。一个系统的理论的形成通常需要几十年甚至更长的时间，牛顿的万有引力理论起源于伽利略的力学及第谷，开普勒的天文观测和经验公式。一个更为现代的例子是量子场论的建立。在量子力学建立(1925/26)之后仅仅两年就有人试图研究量子场论，量子场论的研究以狄拉克将辐射量子化及写下电子的相对论方程为开端，到费曼 (Feynman)，薛温格(Schwinger) 和朝永振一郎 (Tomonaga) 的量子电动力学为高潮，而以威尔逊(K. Wilson)的量子场论重正化群及有效量子场论为终结， 其间经过了四十余年，数十甚至数百人的努力。 广义相对论的建立似乎是个例外，尽管爱因斯坦一开始已经知道水星近日点进动，他却以惯性质量等于引力质量这个等效原理为基础，逐步以相当逻辑的方式建立了广义相对论。如果爱因斯坦一开始对水星近日点进动反常一无所知，他对牛顿万有引力与狭义相对论不相容的深刻洞察也会促使他走向广义相对论。尽管同时有其他人如阿伯拉汗(Max Abraham)，米(Gustav Mie)试图改正牛顿万有引力，爱因斯坦的从原理出发的原则使得他得到正确的理论。

弦论发现的过程又不同于广义相对论。弦论起源于一九六零年代的粒子物理，当时的强相互作用一连串实验表明存在无穷多个强子，质量与自旋越来越大越来越高。这 些粒子绝大多数是不稳定粒子， 所以叫做共振态。当无穷多的粒子参与相互作用时，粒子与粒子散射振幅满足一种奇怪的性质，叫做对偶性。 1968年，一个在麻省理工学院工作的意大利物理学家威尼采亚诺 (Gabriele Veneziano) 翻了翻数学手册， 发现一个简单的函数满足对偶性，这就是著名的威尼采亚诺公式。 应当说当时还没有实验完全满足这个公式。很快人们发现这个简单的公式可以自然地解释为弦与弦的散射振幅。 这样，弦理论起源于一个公式，而不是起源于一个或者一系列实验。伯克利大学的铃木 (H. Suzuki) 据说也同时发现了这个公式，遗憾的是他请教了一位资深教授并相信了他，所以从来没有发表这个公式。所有弦论笃信者都应为威尼亚采诺没有做同样的事感到庆幸，尽管他在当时同样年轻。

起源

弦论又可以说是起源于一种不恰当的物理和实验。后来的发展表明，强相互作用不能用弦论，至少不能用已知的简单的弦论来描述和解释。强相互作用的最好的理论还是场论，一种最完美的场论：量子色动力学。在后来的某一章内我们会发现，其实弦论与量子色动力学有一种非常微妙，甚至可以说是一种离奇的联系。作为一种强相互作用的理论，弦论的没落可以认为是弦论有可能后来被作为一种统一所有相互作用的理论运气，更可以说是加州理工学院史瓦兹 (John Schwarz) 的运气。想想吧，如果弦论顺理成章地成为强相互作用的理论，我们可能还在孜孜不倦地忙于将爱因斯坦的广义相对论量子化。不是说这种工作不能做，这种工作当然需要人做，正如现在还有相当多的人在做。如果弦论已经成为现实世界理论的一个部份，史瓦兹和他的合作者法国人舍尔克 (Joel Scherk)也不会灵机一动地将一种无质量，自旋为2的弦解释为引力子，将类似威尼采亚诺散射振幅中含引力子的部份解释为爱因斯坦理论中的相应部份，从而使得弦论一变而为量子引力理论！正是因为弦论已失去作为强相互作用理论的可能， 日本的米谷明民 (Tamiaki Yoneya) 的大脑同时做了同样的转换， 建议将弦论作为量子引力理论来看待。他们同时还指出，弦论也含有自旋为1的粒子，弦的相互作用包括现在成为经典的规范相互作用， 从而弦论可能是统一所有相互作用的理论。

这种在技术上看似简单的转变，却需要足够的想象力和勇气，一个好的物理学家一辈子能做一件这样的工作就足够了。我们说的史瓦兹的运气同时又是弦论的运气是因为史瓦兹本人的历史几乎可以看成弦的小历史。史瓦兹毫无疑问是现代弦论的创始人之一。自从在1972年离开普林斯顿大学助理教授位置到加州理工学院任资深博士后研究员，他“十年如一日”，将弦论从只有几个人知道的理论做成如今有数千人研究的学问。他也因此得以摆脱三年延长一次的位置，终于成了加州理工学院的正教授。因为他早期与格林 (Michael Green) 的工作，他与现在已在剑桥大学的格林获得美国物理学会数学物理最高奖，2002年度的海因曼奖 (Heineman prize)。

过程

按照流行的说法，弦本身经过两次“革命”。经过第一次“革命”，弦成为一种流行。一些弦论专家及一些亲和派走的很远，远在1985年即第一次“革命”后不久，他们认为终极理论就在眼前。有人说这就是一切事物的理论 (TOE=Theory of Everything)，欧洲核子中心理论部主任爱利斯 (John Ellis) 是这一派的代表。显然，这些人在那时是过于乐观，或者是说对弦的理解还较浮于表面。为什么这么说呢？弦论在当时被理解成纯粹的弦的理论，即理论中基本对象是各种振动着的弦，又叫基本自由度。现在看来这种理解的确很肤浅，因为弦论中不可避免地含有其他自由度，如纯粹的点状粒子，两维的膜等等。15年前为数不多的人认识到弦论发展的过程是一个相当长的过程，著名的威顿 (Edward Witten) 与他的老师格罗斯 (David Gross) 相反，以他对弦的深刻理解，一直显得比较“悲观”。表明他的悲观是他的一句名言：“弦论是二十一世纪的物理偶然落在了二十世纪”。(这使我们想到 一些十九世纪的物理遗留到二十一世纪来完成，如湍流问题。) 第一次“革命”后一些人的盲目乐观给反对弦论的人留下口实，遗患至今犹在。现在回过头来看，第一次“革命”解决的主要问题是如何将粒子物理的标准理论在弦论中实现。这个问题并不象表面上看起来那么简单，我们在后面会回到这个问题上来。当然，另外一个基本问题至今还没有解决，这就是所谓宇宙学常数问题。15年前只有少数几个人包括威顿意识到这是阻碍弦论进一步发展的主要问题。

第二次“革命”远较第一次“革命”延伸得长 (1994-1998)， 影响也更大更广。有意思的是，主导第二次“革命”主要思想，不同理论之间的对偶性 (请注意这不是我们已提到的散射振幅的对偶性) 已出现于第一次“革命”之前。英国人奥立弗 (Olive) 和芬兰人曼通宁 (Montonen) 已在1977年就猜测在一种特别的场论中存在电和磁的对称性。熟悉麦克斯维电磁理论的人知道，电和磁是互为因果的。如果世界上只存在电磁波，没有人能将电和磁区别开来，所以此时电和磁完全对称。一旦有了电荷，电场由电荷产生，而磁场则由电流产生，因为不存在磁荷。而在奥立弗及曼通宁所考虑的场论中，存在多种电荷和多种磁荷。奥立弗-曼通宁猜想是，这个理论对于电和磁完全是对称的。这个猜想很难被直接证明，原因是虽然磁荷存在，它们却以一种极其隐蔽的方式存在：它们是场论中的所谓孤子解。在经典场论中证明这个猜想已经很难，要在量子理论中证明这个猜想是难上加难。尽管如此，人们在1994年前后已收集到很多这个猜想成立的证据。狄拉克早在1940年代就已证明，量子力学要求，电荷和磁荷的乘积是一个常数。如果电荷很小，则磁荷很大，反之亦然。在场论中，电荷决定了相互作用的强弱。如果电荷很小，那么场论是弱耦合的，这种理论通常容易研究。此时磁荷很大，也就是说从磁理论的角度来看，场论是强偶合的。奥立弗-曼通宁猜想蕴涵着一个不可思议的结果，一个弱耦合的理论完全等价于一个强耦合的理论。这种对偶性通常叫做强弱对偶。

有许多人对发展强弱对偶作出了贡献。值得特别提出的是印度人森(Ashoke Sen)。 1994年之前，当大多数人还忙于研究弦论的一种玩具模型，一种生活在两维时空中的弦，他已经在严肃地检验15年前奥立弗和曼通宁提出的猜测，并将其大胆地推广到弦论中来。这种尝试在当时无疑是太大胆了，只有很少的几个人觉得有点希望，史瓦兹是这几个人之一。要了解这种想法是如何地大胆，看看威顿的反应。一个在芝加哥大学做博士后研究员的人在一个会议上遇到威顿。威顿在作了自我介绍后问他-这是威顿通常作法-你在做什么研究，此人告诉他在做强弱对偶的研究，威顿思考一下之后说：“你在浪费时间”。

另外一个对对偶性做出很大贡献的人是洛特格斯大学(RutgersUniversity) 新高能物理理论组的塞伯格 （Nathan Seiberg）。他也是1989～1992之间研究两维弦论又叫老的矩阵模型非常活跃的人物之一。然而他见机较早，回到矩阵模型发现以前第一次超弦革命后的遗留问题之一，超对称及超对称如何破坏的问题。这里每一个专业名词都需要整整一章来解释，我们暂时存疑留下每一个重要词汇在将来适当的时候再略加解释。弦论中超对称无处不在，如何有效地破坏超对称是将弦论与粒子物理衔接起来的最为重要的问题。塞伯格在1993～1994之间的突破是，他非常有效地利用超对称来限制场论中的量子行为，在许多情形下获得了严格结果。

这些结果从量子场论的角度来看几乎是不可能的。

科学史上最不可思议的事情之一是起先对某种想法反对最烈或怀疑最深的人后来反而成为对此想法的发展推动最大的人。威顿此时成为这样的人，这在他来说不是第一次也不是最后一次。所谓塞伯格-威顿理论将超对称和对偶性结合起来，一下子得到自有四维量子场论以来最为动人的结果。这件事发生在1994年夏天。塞伯格飞到当时正在亚斯本（Aspen）物理中心进行的超对称讲习班传播这些结果，而他本来并没有计划参加这个讲习班。
纽约时报也不失时机地以几乎一个版面报导了这个消息。这是一个自第一次弦论革命以来近十年中的重大突破。这个突破的感染力慢慢扩散开来，大多数人的反应是从不相信到半信半疑，直至身不由己地卷入随之而来的量子场论和弦论长达4年的革命。很多人记得从94年夏到95年春，洛斯阿拉莫斯 hep-th 专门张贴高能物理理论文的电子“档案馆”多了很多推广和应用塞伯格-威顿理论的文章，平淡冷落的理论界开始复苏。塞伯格和威顿后来以此项工作获得1998年度美国物理学会的海因曼奖。

真正富于戏剧性的场面发生在次年的三月份。从八十年代末开始，弦的国际研究界每年召开为期一个星期的会议。会议地点每年不尽相同，第一次会议在德克萨斯A&M大学召开。九三年的会议转到了南加州大学。威顿出人意料地报告了他的关于弦论对偶性的工作。在这个工作中他系统地研究了弦论中的各种对偶性，澄清过去的一些错误的猜测，也提出一些新的猜测。他的报告震动了参加会议的大多数人，在接着的塞伯格的报告中，塞伯格在一开始是这样评价威顿的工作的：“与威顿刚才报告的工作相比，我只配做一个卡车司机”。然而他报告的工作是关于不同超对称规范理论之间的对偶性，后来被称为塞伯格对偶，也是相当重要的工作。史瓦兹在接着的报告中说：“如果塞伯格只配做卡车司机，我应当去搞一辆三轮车来”。他则报告了与森的工作有关的新工作。

95年是令弦论界异常兴奋的一年。一个接一个令人大开眼界的发现接踵而来。施特劳明格 (Andrew Strominger) 在上半年发现塞伯格－威顿94年的结果可以用来解释超弦中具有不同拓扑的空间之间的相变，从而把看起来完全不同的“真空”态连结起来。他用到一种特别的孤子，这种孤子不是完全的点状粒子，而是三维的膜。威顿95年三月份的工作中，以及两个英国人胡耳 (Chris Hull)和汤生 (Paul Townsend) 在94年夏的工作中，就已用到各种不同维数的膜来研究对偶性。这样，弦论中所包含的自由度远远不止弦本身。


预测



弦论的预测之一，是时空的维数为十维。虽然我们的经验告诉我们时空只有四维，但理论物理学家已有许多方案可以解释为何十维的时空看起来可以像是四维的。可能之一，是多出的六维缩得很小，所以没被观测到。另一个可能，是我们其实活在一个四维的孤立子上。有趣的是，时空的维数可以是弦论的预测之一；过去从未有过这样的理论。但另一方面，有另一个弦论的对偶理论，它的时空是十一维的。（这个理论也是M理论的一种表示方式。）这是因为时空的形状及维度，要看我们如何定义其测量方法才有意义；不同理论中的时空定义不一定恰好相同。


研究成果

弦论研究的重要成果之一，是计算出某些（特别简单的）黑洞的乱度。虽然霍金（Hawking）很久以前就预测出黑洞乱度的公式，但因为缺乏一个量子重力理论，无法真的根据乱度的定义直接算出结果。另一个量子重力理论应有的性质-全像原理（也与霍金的黑洞乱度公式有关），最近也在弦论中得到实现。有关于量子重力学的更基本也更有趣的问题是：时空到底是什么。在弦论中，时空所有的性质都可以从理论中推导出来。在一些假想的情况中，时空的性质可以和我们的经验大不相同。事实上，在宇宙大爆炸初期，时空的性质很可能的确非常不同。根据量子力学，要探测小尺度时空内的现象，必然伴随着大的能量不确定性，而根据广义相对论，这会造成时空结构上大的不确定性。结果是，一般经验中平滑的、由无线多点构成的有关时空的概念，不可能在接近普朗克尺度（约10^(-37) m）时适用。数学上一般的几何概念对普朗克尺度下的时空并不适用。数学上所谓的“非交换几何”，是古典几何的一种推广，有可能可以用来描述普朗克尺度下的时空。近来在弦论中已经发现一些假想情况中的时空的确可以用非交换几何来描述。 弦论公式：B(x,y)=(Sλ)о(hy)x-4(λ-t)y-λ(dt)

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<转贴>-参考
Real analysis ——实分析
在实分析里，学生学会实函数作为映射的抽象特性。同态，不动点，和基础的拓扑学（集合论，邻域，不变量，同胚）。
Complex analysis ——复分析
复分析实学习弦论的重要基础。其中包括，复变函数，复流形，全纯（holomorphic）函数，调和形式，Kahler 流形，黎曼表面和Teichmuller 空间。要研究弦论就要对这样主题都比较熟悉。
Group theory ——群论
如果不理解对称性和群论是不可能理解现代物理学的，群论通常以N个文字的置换群和其他的有限群开头，其中重要的概念有：表示，不可约性，类，特征子。
Differential geometry ——微分几何
爱因斯坦的广义相对论，把非欧几何从有争议的数学变成了物理学研究生教育的组成部分。微分几何研究微分流形、坐标系统、矢量和张量。学生应该学过矩阵、协变倒数（covariant derivatives）、也要知道怎样计算（非）坐标轴基的曲率。
Lie groups ——李群
李群是一个群被定义为映射在微分流形上的集合。李群在现代物理学中特别重要。李群的研究结合了从群论、基本微分几何到李倒数、Killing矢量、李代数和矩阵表示。
Differential forms ——微分形式
微分形式的数学是由Elie Cartan 在20世纪初提出的，微分形式是理解 Hamitonian 动力学、相对论和规范场理论的强有力的技术。先学习反对称张量，然后是外积、外倒数、可定向性（orientability）、体积元和可积条件等概念。
Homology ——（下）同调
下同调考虑的是区域和空间的边界。例如，二维圆盘的边界是一维的圆圈。但一个一维的圆圈没有边缘，因此没有边界。在下同调里，这就产生了“边界的边界是零”。主要是学习，单形（simplex）、链、和下同调群。
Cohomology ——（上）同调
从名字上看，你可能怀疑上同调和下同调是相关的。上同调是研究定义在某个流形M上的微分流形的封闭和精确的相互关系。学生主要是学习Stokes定理的产生、Rham 上同调、Rahm 复数、Rahm定理和上同调群。
Homotopy ——同伦
简单的说，同伦研究圆环图中的洞。同伦在弦论中是很重要的，从物理的因果关系，因为封闭的弦可以缠绕并粘在圆圈图的洞上。
学生学习通道和循环，循环的同伦图，收缩性、基本群、更高的同伦群和Bott周期性定理。
Fiber bundles ——纤维丛
纤维丛是由一个数学领域构成的，这个数学主要是研究通过某种映射定义在其它空间上的空间。例如，在电磁场里，有U(1)矢量势和时空流形中的某个点都相关的。所以，抽象的研究电磁场可以作为U(1)在某个时空流形M上的纤维丛。其中概念包括正切丛、主丛、Hopf 映射、协变倒数、曲率和物理学中与规范场的联系。
Characteristic （cohomology） classes ——上同调特征类
上同调特征类可以把复杂的问题退化为已经解决的数学问题。Chern 类和弦论紧密相关的。
Index theorems ——指数定理
在物理学中，我们通常对知道微分算符的零本征值感兴趣。一个算符的指数是和零本征值的空间的尺度相关的。指数定理和特征类是相关的。
Supesymmetry and supergravity ——超对称性和超引力
超对称性后面的数学开始于两个概念：graded 李群和Grassmann 数。graded 代数使用交换和反交换关系。Grassmann数是反交换数，因此x倍 y=－y倍x。这个在超对称性上使用的数学技术需要理解：graded 李代数、在任意时刻尺度上的自旋子、自旋子的协变倒数转矩Killing 自旋子和Grassmann乘法、倒数和积分以及Kahler 势。