数学.概念.人-----通过概念的长征

[Motif]

大致可以把伟大的数学家分为两大类;一类为宇型的,一类为宙型的.何谓宇型?如同哲学长河中的亚里士多德,柏拉图,康德,胡塞尔等建立了伟大体系的人,数学中如此之人有哪些呢?自古以降,廖若疏星,Newton,Gauss,Galois,S.Lie,E.Cartan,A.Grothendieck,Kolmogorrov,丘城桐,Kodaira,Euclid,Fourier,Cantor,Riemann.何谓宙型?像哲学门中的那些形而上的先知们,他们的洞见穿越了时空中的迷雾而辉丽万有,烛照三才.有点类似于古希腊残篇断简中吐放的绵绵密密的智慧的幽光,照了古人照今人,以那种不朽的寂静的方式驱散着一代又一代人心的黑暗和孤独.如哲人中的苏格拉底,基尔凯廓尔,尼采,Wittgenstiein,Heidgger等,数学中这样的人,大概也如这世界上有趣的人一样少!毕达哥拉斯,阿基米德,Fermat,祖冲之,刘徽,朱载堉,Poisson,Abel,Ramanujan,Чебb Iшев.ПaфHутий Лbвович,I.Schur,Poincrae,Langlands,Shimura,Harish-Chandra,Weil,Witten,E.Noether,I.M.Gelfand,Selberg,Siegel,Hilbert,Markov,他们大概可以位列其中.如果以武学的手法论数学,宇型数学家有点类似于洪七公,王重阳,逍遥子,扫地僧,李寻欢之类, 宙型数学家则有点类似于风清扬,胡不归,叶孤城,陆小凤,燕十三一类.不管是武学的江湖还是数学的江湖,都是这些人的血,汗和才情所构成.他们的思想和功业,使数学这个伟大的宇宙得以运转,这些宇宙般永恒的英雄们的事迹,好似那些绝代侠客们的铁血柔情,在江湖的每个角落里不息的流传着,一朝江湖人,千古侠客梦.那些天才的公式带给人的一瞬间的灿烂和兴奋,只有天涯边那一剑的寂寞,明月下那一刀的风情才能媲美.这种美能在刹那间燃烧我所有的欲望,碾碎天地间所有的寂寞,洗掉身上这万丈红尘,而得以聆听那广陵瑶琴为我奏响的三千绝响,在一种纯粹的境界中我步入了群星驰舞的莽莽高山.数学与哲学的目的一样,都是要从逻辑上澄清思想.数学不是一门学说,而是一项活动,一种不断揭示宇宙新结构的进程,本质上,它是由一系列的概念和解释所构成,数学的成果不仅是些或新或旧的命题,而且也包括对这些命题的澄清.若没有数学,这个世界会相当混乱和嘈杂,关于世界的图画不会像而今这般的绚烂和动人.上面这些,是些须关于数学和数学人的故事,也包含了我的隐喻,我冀望着在某些余霞漫天的黄昏,淡淡的晚风寂寞的吹着,在我的感觉边上,坐着一位人淡如菊的女子,温情脉脉的守侯着玉壶中的香茗,我却沉醉在这胜似月色的温柔里,沉醉在那些人,那些人的动人的数学,动人的故事里,恰似那天外飞鸿,对苍茫大地,万古长空的沉醉.故事已尽,梦亦醒,我们该上路了.数学中最重要的是"道",古人云:阴阳之变之谓道,显示了"道"本身包含了思想,命题,概念以及它们的不断更新,正所谓:江山代有人才出,数学贵在道之易.窃以为,无论创造新的数学还是学习旧的数学,"概念"都是核心,整个数学,就是对其概念的组合,运动和阐释.数学中我们关心的所有重要事情,都是由对概念的天才操作所生发.接下来,将是一个通过概念的长征,因为学识的局限或俗事的缠绕,可能,我最终走不完它,但,作为一种仪式,或者一种象征,第一步,绝对要迈.

[yijun]

数学是一项活动，人类经由此活动，不断揭示的不仅是宇宙对象，同时也揭示着自己的认知规范。
关于女子，小者常见，人间之大规模者，则吾亦渺然不可知。
相比于概念，我更偏向于用观念这个词。具体的概念背后，是人类的一些富有洞见的观念在闪烁。

[Motif]

人生相当虚幻,最终,尘归尘,土归土.我愿像燕十三一样被自己的那一剑所毁灭.那一剑是不朽的,足以烛照千古.数学,像武学一样,需要绝对的诚心正意,值得耗尽自己一生的心血,为的是什么?为了一种境界,一种瞬间的绚烂.
在征程启始之际,我喜欢首先为自己造一个机器,或者说,搭建一个脚手架,然后,我就心安理得地在其中细致的劳作.
我将陆陆继续地讲述下面这些迷人的概念的故事,或许,这"陆续"会拖得很长,长得令人愤怒.
1,Variety:当然,最常听到的是Algebraic Variety,当然,在AG(algebraic geometry)和AAG(arithmetic geometry)里,最重要的,经常被提到的簇是:Shimura Variety, Jacobian Variety, Abelian Variety,Hodge Variety,Piard Variety,Modular Variety,etc.其中Shimura Variety和Abelian Variety又格外重要,一维的Abelian Variety便是椭圆曲线,而Shimura Variety是Langlands计划中的核心研究对象.
2,Scheme:它是Algebraic Variety的推广,这是一个重要性无论被估计多高都不为过的概念,我将会详细的对它进行阐述,因为,在它上面屹立着许多辉煌的大厦,比较常见的有Abel Scheme,有限群概形,形式群概形,等等.
3,Cohomology:这是一个搞数学的人必须掌握的一种技术,威力无穷,当然,它可能会有一个相当悲凉的下场,Motif 横空出世的那天,或许就是它的末日.常见的,非常重要的一些上同调有:Galois Cohomology,Cech Cohomology,(它是所谓的Cohomology of Sheaves的一种特殊化),etale Cohomology, Crystalline Cohomology, L-adic Cohomology,Quantum Cohomology,De Rham Cohomology,Cyclic Cohomology(这是Connes发展的NCG里面的一个重要的概念,当然,在同调代数中也比较有用),Motivic Cohomology,这是Vodvoesky最近几年才发展起来的一种新的上同调,他通过借助Algebraic-K Theory和Homotopic algebra等工具,然后再构造一系列复杂而抽象的关于 motives的triangulated category ,初步的实现了格先生当初的一些梦想,建立起了一个所谓的bigraded motivic cohomology theory H^p,q(X) for algebraic varieties.
4, Group:这是Galois的天才工作,里面最重要的是Lie Group和Galois Group.现在,高阶K Group已经越来越重要了..
5,Module,这是现代数学中一种很重要的看待数学的观点,里面相当重要的是Galois module.这可说是现代数论的核心研究对象.
6,Algebra:这里的algebra指的是一种数学结构，在逻辑学里，有Boolean algebra ，Heyting algebra，在集合论里，有algebra over a set ，sigma algebra ，在线性代数里，有algebra over a field ，associative algebra，commutative, anticommutative, and super- algebras ，Lie algebra ，在环论里有algebra over a commutative ring ，也称为 R-algebra，在范畴论里，有F-algebra ，F-coalgebra ，当然，这些代数都有各自的用处，不过，我感兴趣的是几种特殊的代数，它们的重要性，在数学和物理学中都得到体现，她们是：Lie algebra，homotopic algebra，Hopf algebra（与量子群有联系），Heck algebra，Banach algebra，Clifford algebra，Von Noeuman algebra，附带的，比较重要的是algebra的表示，这属于表示论了。
7，Sheaf：Sheaf是表达一个拓扑空间局部性质和整体性质之间联系的一个相当有力量的工具，用范畴的语言说，Sheaf就是一个逆变函子。 是Jean Leray首先表达这个概念的，Jean Leray在研究PDE中的不动点问题时，催发了他提出这个概念，而且，同时，他还定义了spectral sequences.
8:Topos
这是一个拉丁文,相当于"place",来源于古希腊文τοπος ,是"空间,位置"的意思,在数学中,有时也写作 "topoi" 或者 "toposes".它起源代数几何,是Grothendieck的创造,后来在etale cohomology里起着比较大的作用,现在,在数理逻辑和理论计算机的研究里也经常出现,不过,我主要关心的是它在数学中的作用.在某种程度上,它是点集拓扑的推广,对于一个 scheme 或者是一个stack ,都可以给它们附加一个Topos结构,比如 étale topos, 或者所谓的fppf topos, 或者 Nisnevich topos.你爱怎么玩就怎么玩,当然,要玩出意义来,就不简单了.Topos的一个简单的例子是:考虑The category of sheaves of set on a topological space ,then this category is a simple topos,and even the category of sets is a topos.
9:Stack
Deligne常写成法文"champ",其实呢,"champ"在英文中的意思是"field",为什么要翻成"stack"呢?或许与它的发明人有关."Stack"是在Deligne与Mumford的一篇有名的文章里首先被定义的,他们企图研究the compactifications of moduli of curves,这篇文章是:The irreducibility of the space of curves of a given genus,他们在文章里考虑的是a class of champs,这个用法文可表达为"gerbes",而"gerbe"翻译为英文可以是"sheaf",也可以是"stack",然而,"sheaf"已经被使用了,所以,就只能求次被翻译为"stack"了.在Deligne与Mumford的那篇文章里首先出现的stack,如今被公称为Deligne-Mumford stacks,这是所谓的algebraic stack 的第一个例子,可看成是algebraic varieties,schemes,and algebraic spaces的一个generalization.后来,还出现了什么Geometric stack,Analytic stack,但是,至今,最重要的还是algebraic stack .Deligne-Mumford stacks后来被小Artin(Michael Artin) generalized 为 Artin stack,这也是现在主要的两种stack. stacks主要与moduli有关,在研究moduli space for elliptic curves 时起着重要作用.后来被广泛的应用于代数几何中,例如,在90年代中期,Kontsevich指出,Gromov-Witten invariant 能够被定义为integrals on the stack of stable maps of genus g,在后面L.Lafforgue证明Langlands conjecture for function fields的时候,一个关键的地方就是他设计了一个constructions of compactifications of stacks of certain types of vector bundled.现在,Deligne盘踞在princeton,艰辛的推进格先生未竟的事业,把所有适合Scheme的性质都要搬到champ上来,这是一项激动人心的事业,可惜,太艰苦,太遥远了.
10:Motive
这也是Grothendieck的思想.它的法文名是"Motif".凡是学代数几何的都知道,学习和处理一系列的cohomology是一件令人望而生畏的事情,是否能够发明一种cohomoplogy,能够encapsulate all the information about all other cohomologies?
这就是Grothendieck发明Motif的最原始的动机,用他在<<Récoltes et Semailles: témoignage sur un passé de mathématicien >>里的叙述,可能看得更加清楚(我在这里只录英文的,法文的可能很多人看不懂):
contary to what occurs in ordinary topology, one finds oneself confronting a disconcerting abundance of different cohomological theories.One has the distinct impression (but in a sense that remains vague) that each of these theories "amount to the same thing ",that they "give the same results". In order to express this intuition,of the kinship of these different cohomological theories ,I formulated the notion of "motive" associated to an algebraic variety. By this term, I want to suggest that it is the "common motive"(or "common reason") behind this multitude of cohomological invariants attached to an algebraic variety, or indeed, behind all cohomological invariants that are apriori possible.

[Wuzhideren]

我真想哪天能看得懂你们在说什么

[摇凝]

[yijun]

进一步，期待你用定理来点燃这些观念的光芒。

[北极小熊]

记得上可计算理论的第一堂课，老师跟我们说：数学玩的就是定义。
一直谨记于心，现在对它的体会也愈来愈深刻。

[yijun]

我觉得更贴切地说，数学玩的是刻划。

[皂角]

很高兴我这样的数学白痴今天偶然看到楼主的贴子
你唯美的描述对我很有吸引力
甚至心血来潮要去看YIJUN写的那两本书了 ,不过对于俺来说.........

[yijun]

老实不客气说，我觉得我那两本基础数学物理书所涵盖的东西，是一个现代修行人必修的东西，否则，莫入我门，呵呵。