对“数学”和“物理”的思考

[永远的，星星]

1.爱因斯坦于1946年在他的《自述》（Autobiographisches)中提到他关于“理论”的两个观点：一个是“理论的外部证实”，一个是“理论的内在完备”。



2.杨振宁在他的《美与物理学》演讲中提到：我曾经把二者的关系表示为两片在茎处重叠的叶片（图3）。 重叠的地方同时是二者之根，二者之源。譬如微分方程、偏微分方程、（Bob注：原图是仅在底部少量重叠的两个长卵形叶片） 希尔伯特空间、黎曼几何和纤维丛等，今天都是二者共用的基本观念。这是惊人的事实，因为首先达到这些观念的物理学家与数学家曾遵循完全不同的路径，完全不同的传统。为甚么会殊途同归呢？大家今天没有很好的答案，恐怕永远不会有，因为答案必须牵扯到宇宙观、知识论和宗教信仰等难题。必须注意的是在重叠的地方，共用的基本观念虽然如此惊人地相同，但是重叠的地方并不多，只占二者各自的极少部分。譬如实验 （1）与唯象理论（2）都不在重叠区，而绝大部分的数学工作也在重叠区之外。另外值得注意的是即使在重叠区，虽然基本观念物理与数学共用，但是二者的价值观与传统截然不同，而二者发展的生命力也各自遵循不同的茎脉流通，如图3所示。常常有年青朋友问我，他应该研究物理，还是研究数学。我的回答是这要看你对那一个领域里的美和妙有更高的判断能力和更大的喜爱。爱因斯坦在晚年时（1949年）曾经讨论过为甚么他选择了物理。他说：在数学领域里，我的直觉不够，不能辨认哪些是真正重要的研究，那些只是不重要的题目。而在物理领域里，我很快学到怎样找到基本问题来下功夫。
（杨振宁说的物理学层次结构图见这里：[u]http://www.docin.com/p-165841.html[/u]）

3.爱因斯坦在《自述》里较完整的话是这样的：：“我在一定程度上忽视了数学，其原因不仅在于我对自然科学的兴趣超过对数学的兴趣，而且还在于下述奇特的经验。我看到数学分成许多专门领域，每一领域都费去我们所能有的短暂一生。因此，我觉得自己的处境像布里丹的驴子一样，它不能决定究竟该吃哪一捆干草。这显然是由于我在数学领域里的直觉能力不够强，以致不能把真正带有根本性的最重要的东西同其余那些多少是可有可无的广博知识可靠地区分开来。”



爱因斯坦的对"理论"的两个观点,第一个正是物理学的特性，第二个正是数学的特性。在我们看来，物理比数学更接近自然，其实这是个大大的误区！数学怎么来的？西方科学追溯到古希腊，就是自然的数学化。数学是源于自然的！可是数学家不够理性，沉醉在自己的逻辑世界中，脱离了自然，导致把逻辑的力量放大了。事实上，数学家一旦脱离自然，就有走火入魔的危险。他们会误认为自己大脑里逻辑构造出来的东西是就是真实存在的，而放弃向大自然求证的努力。当然求证的确有难度，这源于数学的本性。但是，大家都知道，不练武的人是永远不会走火入魔的。数学家会遇到这种危险，一方面源于数学的本性，高度抽象，最后以脱离自然的形式呈现出来，另一方面源于人的不够理性，到底还是脱离了自然，完全陷入了自我的境界。

物理学数学一路走到今天,在我看来,都是非常自然,每关键的一步都是人们从自然界感悟到的。即使没有牛顿爱因斯坦，还会有别人，物理学数学一样能走到今天。再来回味回味“自然的数学化”的意思,问“如何实现自然的数学化”？就是“数学中，每关键一步是怎么走出来的？”这里，很遗憾的一件事情是，世人都知道物理学中牛顿爱因斯坦，却没有多少人知道数学中的大人物。
问“数学家是如何从自然获取感觉的”，我认为这里有个很好的途径，也是自然的数学化的一种途径：自然---物理----数学（这正印证了杨振宁关于物理学的四个层次：实验----唯象理论----理论构架----数学）。当然，对于伟大的数学家如何由自然跨向数学，
这个着实让人着迷，如果我对自己捕获自然的能力足够自信，我可能就呆在数学里头了，呵呵。


前面说了,我认为数学发展中,每关键的一步都是数学家从自然中获得的,至于数学家的这种独特体验，别人是难以分享到的。这就是数学教育中存在的问题!学生在学数学时,对于数学家创造的那些最基本的东西一开始就是被动接受，学习的整个过程中,主要还是训练逻辑演绎，而对于数学各个不同领域中的基本东西，怎么来的，缺乏认识和体会。如果只是局限于逻辑，恐怕会被数学中构建的逻辑大厦给淹没.这一点,我自己有体会：某一个数学领域长时间不接触，连最基本的东西都会遗忘，因为当初学的时候对基本的东西靠的是记忆。所以，现在学数学就要问：为什么要创造这一种形式，为什么要引入这些定义概念公理，而这只能从生活中从自然中领悟，才可能体验到数学家的创造过程.而这个也不是那么容易的，这就可以一定程度上解释，为什么大家觉得数学难学，以及为什么科学难以进入日常。而学数学的人，如果上升了对数学的认识，认识到这个问题,就会寻向数学史数学家以求得蛛丝马迹，这就是很自然的事了。遗憾的是，数学教育中，忽略了数学史的启发作用，以至于学生缺乏人文熏陶没有数学人文修养，这大大制约了他们在数学领域的进阶和开拓，这是数学教育的一条出路，也是学数学的人需要自我提升的出路。


最后,在我看来,数学就是一直在努力抓取自然的本质，而物理介于自然与数学的中间（偏离了哪一边都不行），再回头理解杨振宁说的话就更明白一些了。

[yijun]

你的这个“自然数学化”的感触很有意思呵呵，我谈点我的看法。
1，无论是数学还是物理，都起步于我们的日常感知。但，这个起步于，不是说要给我们的日常感知背书，而是反省。有了第一步反省的作为，能够导致我们感知的扩张，然后，第二步的反省，就是基于这扩张了的感知，而不再是我们此前的未经过反省审视的日常感知，例如，我们今天，就不需要基于亚里士多德的日常感知，来理解世界了。不过说句题外话，实际上，大多数的普通人，即使是学过普物的人，都可能仍然还是那个日常感知基础，物理学的学习并未给他带来基本认识论的革新。举个小例子，很多人的思维习惯里面，都搞不清因果论，常常随意地进行因为所以的思维推进，这就是亚里士多德的典型日常知识。
在这个意义上，数学和物理，确实都是根基于自然，更确切地说，根基于我们与实在世界的交往。
请注意，我想强调这两种说法的差异，还不止是一个模糊一个确切。
“根基于自然”，倾向于强调我们的知识的客观性；“根基于我们与实在世界的交往”，倾向于强调我们的知识的主观临时性。
强调我们的知识的客观性，往往会带来一些负面作用，例如，会强化我们已经表述出来的知识的实在属性，由此而影响我们后退一步默然观照反省其实在位置。
强调我们的知识的主观临时性，则更为切近人类的实际境况，也直接导致我们能够继续从事下一步的观照反省，从而获得真正的未来新知。

好了，正是从这里出发，数学和物理开始分道扬镳。

[yijun]

2，面向自然，我们其实需要问两个问题：[url=http://krsna.lamost.org/bb/viewtopic.php?f=13&t=695&sid=a465cdf164b5974a6dafe85a1c64bc4a]是什么，怎么办[/url]。
物理，就是指向回答“是什么”的问题；
数学，就是指向回答“怎么办”的问题。

[yijun]

显然，是什么，怎么办，这两个问题必然地是相互支援的：我要想知道是什么，就得有一些入手的办法；我要想知道怎么办，知道一些是什么，能够更加有的放矢。
但，这还只是极端粗略的描述，实况远比此描述要来得精妙。

[yijun]

随便举个例子。
向四周看看，是纷繁的现象，台灯，物体的颜色和形状，不同的物质，手机，电脑，矿泉水瓶，植物，...然而，物理学告诉我们，这一切，是什么？无非只是电子与光子及其相互作用而产生的现象。
好了，这算是回答了是什么的问题，那么，你得告诉我为什么是电子与光子及其相互作用啊，否则，只是这么一说，和泰勒斯告诉我世界万物都是由水组成的，又有何差别？
这就是怎么办的问题：我们怎么使得电子和光子及其相互作用，来构造出所有这些现象。
首先，电子与光子的存在状态怎么描述？波动方程啊，场方程啊，。。。这，就是数学提供的解决方案。
然后，由那些方程，怎么告诉我如何组装原子分子？如何让物质发光？如何让物质具有硬度？如何让物质产生你所看到的颜色？...凡此种种，我们都需要数学来提供解决方案。

[yijun]

再继续举例。爱因斯坦在他第一个指出光是能量量子(空间不连续分布)的伟大文章里几乎没有使用任何数学，但这不影响其作为一篇具有深刻意义的里程碑文章，为什么？因为他在这篇文章里只需要指出光是什么，基于这个是什么要得到定量的怎么办的那个步骤是很直观的初等数学。反过来我们再看同样是处理光量子，现代学生可以使用整套的数学程序精确计算光量子的行为，但，他完全可以根本不用去理解光量子是什么！

[yijun]

实际上，学习过量子力学的绝大部分人确实是不知道光量子是什么，但这不妨碍他使用爱因斯坦都不懂的数学方案作精确计算。这不奇怪，我们可以在不懂电子学的情况下娴熟地组装电脑。

[永远的，星星]

[quote]是什么，是无条件的观看，对于物理，我们惟有如此，越是虔诚，越蒙眷顾；
怎么办，是我们的认知任务，数学，正是要求我们不断地给出概念的方案，给出解答的途径，面对实在的提问。[/quote]

[quote]是什么，怎么办，分别代表两种提问的方式。
对于物理的问题，采用“是什么”的提问方式，常常是最有效的；
对于数学的问题，采用“怎么办”的提问方式，常常是最有效的。[/quote]

很明显，“湍流”难题的症结就出在“是什么”的困惑和犯难，以前粗看杨本洛的书，他在书中就提出了这个问题，认为人们对湍流，是在基本的认知论上出了问题，他抛弃了连续介质假设,重新构建了研究对象的模型,具体的,有时间的话我要细细看

[yijun]

他也只能在是什么这个方面做文章，就好象星占学家也只能说宇宙是水晶球一样，什么时候见过星占学家计算预言过背景微波辐射温度之类的？杨如能在怎么办方面能做点什么例如算点能在工程上直接有用的东西的话，那还可能有点价值。

[永远的，星星]

[quote="yijun"]他也只能在是什么这个方面做文章，就好象星占学家也只能说宇宙是水晶球一样，什么时候见过星占学家计算预言过背景微波辐射温度之类的？杨如能在怎么办方面能做点什么例如算点能在工程上直接有用的东西的话，那还可能有点价值。[/quote]

同样是模型，物理学家提出模型与星占学家提出模型，这种差异就如科学与宗教神话，他属前者，你为何就如此轻易的把他划为后者？
“杨如能在怎么办方面能做点什么例如算点能在工程上直接有用的东西”说得倒容易，你认为这是一个人能完成的吗？他能有自己的原创已经很不错了（几十年的耕耘，达不到那个高度就不要枉评，达到了那个高度就指出其理论中的问题），至于推进完善检验评判就是后来人的事了，人的一生都是有限的,珍惜人生的人多的是，从整个人类历史尺度来看，比YIJUN你的人生更有意义的人生多的是！（这是题外话了，个人看法）