微积分中求长度的问题

[huanghuang]

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嘿，版上诸位大侠可能觉得会有点小儿科，以下如有错误的地方，敬请指正。正式开始吧。
问题：如图，之前一直不明白为什么计算f（x）的长度时要用折线段l2而不是直线l3来近似曲线l1的长度（既然都是近似嘛），并且这样通过积分得到的一个长度为什么是精确的。
我的看法是这类问题的公式都要考虑“逼夹原则”，曲线l1的精确值是要被逼夹在最大值和最小值之间的，若直接近似为直线l3则曲线l1没被任何值逼夹（l3是一确定值，任何划分都不存在最小和最大值）。而曲线l1近似为折线段l2，即近似为直线l3乘以这一小段曲线中任意斜率，这样f（x）的长度始终是逼夹于任意一种划分相对应的sum（l2）最小和最大值之间。称由所有划分组成的sum（l2）最大值集合为S，最小值集合为s。根据确界存在性定理——非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有小确界。则集合S和s分别存在下确界L和上确界l。很明显，f（x）的长度大于等于l且小于等于L。又根据Darboux定理——对任意在[a,b]上有界的函数f（x），恒有当划分区间的最大值趋于无穷小时，sum（l2）最大值的极限等于L、sum（l2）最小值的极限等于l。又根据定积分的定义可知，sum（l2）最大值的极限等于sum（l2）最小值的极限，所以f（x）的精确长度必等于定积分的值。
说明：sum（l2）最大值指由直线l3乘以这一小段曲线中最大斜率绝对值加起来的总和。另应该可以证明f（x）的长度介于任一划分的sum（l2）最小值和sum（l2）最大值之间。

通过这个想到了极限和确界的关系，极限就是求无限连续集合确界的一种有效的方法吗?处理无限对象，总的来说就是求其确界吗？

[yijun]

你这个问题，正好就是我在[url=http://sites.google.com/a/ikosmos.name/book/to/mathematics/analysis]分析学[/url]里马上要写到的问题，我进度太慢，汗一下～
任何曲线段的长度，如果不能拿单位直线段直接用自然数或者有理数量出来，那我们就不得不采用一个要做无限个动作的行为，由这个行为定义其长度，所以一个实数，要确定其数值，或者能够直接用整数或者有理数表示出来，否则，就只能表示为一个运算的结果；而如果你非得要我用十进制数字来表示，那我也只好用一个无限的序列动作来表示了，就是所谓的极限、数列、级数、夹逼、...都是同一个意思。
所以一个实数值并没什么神秘的地方，只是在你非得要我用十进制自然数数目字表达，才涉及到无限次的逼近；同样，任意一个连续函数也没有什么神秘的地方，只是在你非得要我用简单的级数形式表达，才涉及到无限次的逼近；。。。
在这点上，初学者难以理解，就是因为还不习惯接受一个可以证明其存在性，但是又不是采用习惯的形式表达的一个数，或者函数。