【读书会】线性代数

[yijun]

[b]缘起[/b]
开始和数学的精神有接触的知识，是从线性代数和分析学开始的，所以如果试图进入数学，线性代数这扇门不能不进。

[b]参考[/b]
没有特定的参考书。
数学物理之类的客观知识，和内在身心类的主观知识，在这点上有不小的区别。
客观知识，只有明确的对错之别，任何一本书，只要明确地表述了正确的知识，就是可读的，因为对于客观知识，相对于作者的表述方式，读者这边的理解才是重点；
主观知识，常常没有明确的对错之别，而只有深浅之别，所以同样的表述对象，不同的表述方式，可能会给出不同的意涵，因此作者说了些什么才是重点。

[b]方法[/b]
我完全按照我的理解来写，欢迎有兴趣的人随时加入，这个理解的惬意之旅。

[yijun]

1，线性空间
你做什么，而不是，你是什么，是我们此地所关注的。
所以，我们现在的问题是，定义在一个集合里面的运算，是如何导致该集合的结构，以及什么样的结构，然后，具有此结构的集合，可以有何用。

秉承此思想，我们可以来考察任何一个具有明确意义的集合：自然数，实数，...
且慢，对于自然数、实数这类集合，我们常常禁不住诱惑，要去问自然数是什么、实数是什么诸如此类的问题，但此类问题其实是次要的[b]如何实现[/b]的问题，所以还不如完全从运算出发，来构造一个集合。线性空间就是如此行为的一个典型：即定义两种运算，然后看在这两种运算下封闭起来的集合具有何种结构。

集合，可以说是人类认知历史上的第一个抽象观念，因为指称的同义词，正是集合。

例1，在一个原始狩猎场景，作为瞭望哨的甲看到一群狼和一群野狗走近，于是甲发出警报，“狼（群）来了”，听到警报的人马上会意识到是狼（群）来了，但不会意识到同时也有一群野狗来了，因为甲所说的狼（群），对于其他人来说，就是一个概念明确的集合，其中不包含野狗，除非甲再加一句，野狗也来了。能够明确判断某个对象不是属于某个集合，正是集合这个概念的用处。

运算则是人类认知史上稍后一些的抽象观念。

例2，同样在一个原始狩猎场景，甲看到一群野牛在行进中，然后从东方来了另外一群野牛，两群牛相遇后混到了一起，假如甲要向族人说清楚何以前后牛群的规模发生了变化这件事，就非得引入运算的观念不可。

从这些早期认知史的场景，我们可以活生生看到，后来被称为数学的东西，一开始就是人类大脑能力的自我演进道路上的主要内容。

例3，在上面的例2中，假设有甲乙两人，分别要向族人报告，而甲比乙说得更清楚，显然只是因为甲具有比乙更明确的加法运算的概念。这种个体之间认知能力的差异，后来分化为认知领域的差别。

属于数学这一系抽象范畴的大脑能力的自我演进，后来显出特异的方向，我们随时在阐述数学概念的发生时予以跟踪此一历史趋向。

[yijun]

[b]线性空间[/b]
一个线性空间，就是由约定的两个集合、四种运算构筑出来的。

两个集合：
[t]\{X, +\}[/t]为一个Abelian群;
[t]\{A, +,*\}[/t]为一个域;
四种运算：
除了上述群和域中的三种运算之外，
[t]\times: A\times X\rightarrow X[/t] 是这两个集合之间的运算。
( [t]\times: Z\times X \rightarrow X[/t] 这个运算约定已经暗示了线性空间的结构。)

使用这四种运算: +, +, *, [t]\times[/t] ，如果 [t]\{x,y\}\subset X ,\{\alpha,\beta\}\subset A[/t] ，那么我们可以做如下三种基本的运算组合:
[t](\alpha+\beta)\times x[/t]
[t](\alpha*\beta)\times x[/t]
[t]$ \alpha\times(x+y) $[/t]
然后我们进一步约定：
[t]$ (\alpha+\beta)\times x=(\alpha\times x)+(\beta\times x) $[/t]
[t]$ (\alpha*\beta)\times x=\alpha*(\beta\times x) $[/t]
[t]$ \alpha\times(x+y)=(\alpha\times x)+(\beta\times y) $[/t]
这就完备地约定了一个线性空间[t]X[/t]。

然后我们就需要知道，这样一个集合-线性空间，可以具有什么样的构造和属性。

[b]维度和子空间[/b]

for 0 of group [t]$\{X, +\}$, what does $x+y+,...,+z=0$[/t] means?

[t]$\forall x\in X, 0*x=0, 0\in A, 0\in X $[/t];

(x+0*x=(1+0)*x=x)

[t]$\forall\alpha\in A, \alpha*0=0, 0\in X $[/t];

if [t]$\alpha\ne0,x\ne0$,then $\alpha*x\ne0$[/t];

but, [t]$\alpha*x+\beta*y=0$[/t] is possible! when [t]$\exists\alpha,\beta, x, y\ne0$[/t].
then, what does that means?

means that:
[t]$\forall\gamma\in A,\{z|z=\gamma*x\}$[/t] is a linear space; any such [t]$y\in\{z\}$[/t]; x and y is symmetry in the lemma;
[t]$\{Z\}$[/t] is a subgroup of [t]$X$[/t].

if [t]$\exists$[/t] y is not [t]$\in\{z\}$[/t], then
[t]$\forall\alpha,\beta\ne0,\alpha*x+\beta*y\ne0$[/t], at this situation, [t]$\alpha*x+\beta*y+\gamma*z=0$[/t] is possible!

what does this means?

means that:
[t]$\forall\alpha,\beta\in A,\{z|z=\alpha*x+\beta*y\}$[/t] is a linear space; y and z is symmetry in this lemma; and [t]$\{z\}$[/t] is a subgroup of [t]$X$[/t].

let's go on!

if [t]$\{z\}=X$[/t], and z can be expressed as
[t]$z=\alpha*x+...+\beta*y$[/t]
then we can say [t]$\{x,...,y\}$[/t] is bases of [t]$X$[/t]. the number of the elements of [t]$\{x,...,y\}$[/t] is the dimension number of [t]$X$[/t].

because of the form [t]$x+y+,...,+z=0$[/t] can be used to generate all the space [t]$X$[/t], we name such [t]$\{x,y,...z\}$[/t] is linear dependent. and if [t]$z=x+...+y$[/t], we name[t]$x+...+y$[/t] is a linear
combination of z.

theorem
any vector z of [t]$X$[/t] can be expressed as its bases's unique linear combination.

[b]coordinate transform[/b]

if [t]$X$[/t] is a n-dimension linear space, then any non-linear dependent n elements of[t]$X$[/t] can be used as its base.

[b]isomorphism[/b]

How to retain the structure of a linear space?

[zongzuanfeng]

咋写了一点就不写了？继续啊。

您是数学系的吧？

学了多年数学，才知道连门槛也没摸着，教育真太失败啊。

[yijun]

后续的我打算[url=http://book.ikosmos.name/]在这里写[/url]。
欢迎在这里进行批评指正。

[Motif]

拓扑学和线性代数结合，真是威力无穷。Grothendieck把拓扑中函数的粘合抽象成了一个函子的可表性，即把粘合等价于一个可表函子，真的令我佩服。我做了太多的白日梦。
现在，有时，我真想拿把利刃来解剖自己的脑袋，这种冲动，直接导致了我内心的狂躁和暴睙。

[yijun]

[quote="Motif"]这种冲动，直接导致了我内心的狂躁和暴睙。[/quote]
这个“导致”是无效的，这种冲动和内心狂躁，是同一。原因是另外的。