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% THEOREMS ---------------------------------------------------------------
\theoremstyle{plain}
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\newtheorem{corollary}[theorem]{推论}
\newtheorem{lemma}[theorem]{引理}
\newtheorem{proposition}[theorem]{命题}
\newtheorem{definition}[theorem]{定义}
\theoremstyle{remark}
\newtheorem{remark}[theorem]{注记}
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\begin{document}
\section{第一节：预层和层}
\begin{definition}
设$X$是一个拓扑空间，$\{U_i\}_{i \in I}$是$X$上的开集基。$X$上关于开集基$\{U_i\}_{i \in I}$的预层
$\F$是指对应
\[ U_i \mapsto \F(U_i) \]
其中对任意的$i \in I$,$\F(U_i)$是Abel群或交换环,满足：
\begin{description}
\item (1)$\F(\emptyset)=0$
\item (2)当$U_i\subseteq U_j$时，存在同态映射
\[\rho^{\F}_{U_i,U_j}\mathpunct{:}\F(U_i)\to \F(U_j)\]
\noindent 满足：
\begin{description}
\item (i) $\rho^{\F}_{U_i,U_i}=id_{U_i}$,对任意的$i\in I$
\item (ii)若 $U_i\supseteq U_j\subseteq U_k$,则有$\rho^{\F}_{U_j,U_k}\circ \rho^{\F}_{U_i,U_j}=\rho^{\F}_{U_i,U_k}$
\end{description}
\end{description}
\end{definition}
%用范畴的语言即是指一个反变函子
\begin{definition}
设$\F$和$\G$是拓扑空间$X$上定义在开集基$\{U_i\}_{i \in I}$上的两个预层。
预层$\F$到预层$\G$的态射$\varphi $是指对于开集基里的任一元素$U_i$,都存在
$\phi|_{U_i} \mathpunct{:} \F(U_i)\to \G(U_i)$,并且满足：$U_i\subseteq U_j$时，
下面的图交换：
\[ \begin{CD}
\F(U_i) @>\rho^{\F}_{U_i,U_j}>> \F(U_j) \\
@V\phi|_{U_i}VV @VV\phi|_{U_j}V \\
\G(U_i) @>>\rho^{\G}_{U_i,U_j}> \G(U_j)
\end{CD} \]
\end{definition}
在不至于混淆的情况下，我们常常把$\rho^{\F}_{U_i,U_j}$称为限制映射，简记为$|_{U_j}$.
\begin{definition}
拓扑空间$X$上的层$\F$是指定义在$X$上的所有开集上的预层，并且满足以下条件：\\
(c):对于$X$的任一个开集$U$和$U$的一组开覆盖$\{V_{\alpha}\}_{\alpha \in I}$,有
如下的正合列：
\[
0 \rightarrow \F(U) \rightarrow \prod_{\alpha \in I}\F(V_{\alpha})\rightarrow \prod_{\beta\in I}
\prod_{\alpha \in I}\F(U_{\beta}\cap U_{\alpha})
\]
其中第二、三个箭头的定义为：
\[ \xi\mapsto (\xi|_{V_{\alpha}})_{\alpha \in I},(\eta_{\alpha})_{\alpha \in I} \mapsto
(\eta|_{V_{\alpha}\cap V_{\beta}}-\eta|_{V_{\beta}\cap V_{\alpha}})\]
\end{definition}
层之间的态射定义为它们作为预层之间的态射。
\begin{example}
设$X$是一个拓扑空间。对于$X$的任一开集定义
\[ \F(U)={U\text{上的连续函数}}\]
则$\F$是$X$上的层。
\end{example}
\begin{proposition}[sheafification层化]
设$X$是一个拓扑空间，$\{U_i\}_{i \in I}$是$X$上的开集基。设$\F$是拓扑空间$X$上定义在开集基$\{U_i\}_{i \in I}$上的预层，
则一定存在$X$上的层$\F^{+}$,以及预层的态射$i\mathpunct{:}\F \to \F^{+}$满足如下条件：\par
对于任一个$X$上的层$\G$和态射$h\mathpunct{:}\F \to \G$:
\[\xymatrix{
\F \ar[r]^{h}\ar[d]^{i} & \G \ar@{<.}[dl]^{f}\\
\F^{+}
}\]
存在唯一的态射$f\mathpunct{:}\F^{+}\to\G$使得上图交换。
\end{proposition}
\begin{proof}[证明]
第一步：构造$\F^{+}$:\newline
设$U$是$X$的任一开集。由于$\{U_i\}_{i \in I}$是$X$上的开集基，对于$U$的开覆盖$\{U_{\alpha}\}_{\alpha \in \Lambda}$,其中$U_{\alpha}$是开集基中元素。可以定义偏序关系：\newline
$\{U_{\alpha^{\prime}}\}_{\alpha^{\prime} \in \Lambda^{\prime}}$是$\{U_{\alpha}\}_{\alpha \in \Lambda}$的
\textbf{加细}，如果存在映射$\varphi\mathpunct{:}\Lambda^{\prime}\to \Lambda$满足
$U_{\alpha^{\prime}}\subseteq U_{\varphi(\alpha^{\prime})}$,对$\forall \alpha^{\prime} \in \Lambda^{\prime}$
.记为$\{U_{\alpha}\}_{\alpha \in \Lambda}\preceq_{\varphi}\{U_{\alpha^{\prime}}\}_{\alpha^{\prime} \in \Lambda^{\prime}}$
\newline
如果$\{U_{\alpha}\}_{\alpha \in \Lambda}\preceq_{\varphi}\{U_{\beta}\}_{\beta \in \Omega }$,
利用$\F(U_{\varphi(\beta)})\to \F(U_{\beta})$对$\forall \beta \in \Omega$,则存在
\[
\prod_{\alpha \in \Lambda}\F(U_{\alpha})\to \prod_{\beta \in \Omega}\F(U_{\beta})
\]
令
\begin{equation*}
\sS(\{U_{\alpha}\}_{\alpha \in \Lambda})=
\{(x_{\alpha})\in \prod_{\alpha \in \Lambda}\F(U_{\alpha})
：x_{\alpha}|_{U}=x_{\alpha^{\prime}}|_{U}\text{对任意开集基中元} U \subseteq U_{\alpha}\cap U_{\alpha^{\prime}}
\forall \alpha,\alpha^{\prime}\}
\end{equation*}
则有：
\[ \sS(\{U_{\alpha}\}_{\alpha \in \Lambda})\to \sS(\{U_{\beta}\}_{\beta \in \Omega})
\]
利用这个偏序，定义
\[\F^{+}(U)=\varinjlim_{U\text{的开集基覆盖$\{U_{\alpha}\}_{\alpha \in \Lambda}$}}
\sS(\{U_{\alpha}\}_{\alpha \in \Lambda})
\]
若$U\subseteq V$是$X$的两个开子集，任取$x \in \F^{+}(V)$，存在$\{V_{\beta}\}_{\beta \in \Omega}$
是$V$的一个开覆盖，其中$V_{\beta}$均在开集基中,使得$x$由$\sS(\{V_{\beta}\}_{\beta \in \Omega}$中的
元素给出。对于$V$的开覆盖$\{V_{\beta}\}_{\beta \in \Omega}$，一定存在$U$的开覆盖$\{U_{\alpha}\}_{\alpha \in \Lambda}$
和映射$\psi\mathpunct{:}\Lambda \to \Omega $满足$U_{\alpha}\subseteq V_{\psi{\alpha}},\forall \alpha \in \Lambda$.
故给出了
\[\prod_{\beta \in \Omega}\F(V_{\beta}) \to \prod_{\alpha \in \Lambda}\F(U_{\alpha})
\]
即\[ \sS(\{V_{\beta}\}_{\beta \in \Omega})\to \sS(\{U_{\alpha}\}_{\alpha \in \Lambda})\to \F^{+}(U)
\]
由此定义出的映射：
\[ \F^{+}(V)\to \F^{+}(U)\]
不依赖于$\{V_{\beta}\}_{\beta \in \Omega}$和$\{U_{\alpha}\}_{\alpha \in \Lambda}$的选取。
\par
如果$U\subseteq V\subseteq W$,对于$W$的开覆盖$\{W_{\alpha}\}_{\alpha \in \Lambda}$，其中$W_{\alpha}$是$X$的开集基元素，
则存在$V$的开覆盖$\{V_{\alpha}\}_{\alpha \in \Omega}$
和映射$\varphi\mathpunct{:} \Omega \to\Lambda$满足$V_{\alpha}\subseteq U_{\varphi{\alpha}},\forall \alpha \in \Omega$.同样地，
对于$V$的开覆盖$\{V_{\beta}\}_{\beta \in \Omega}$
其中$V_{\beta}$均在开集基中,则存在$U$的开覆盖$\{U_{\alpha}\}_{\alpha \in \Sigma}$
和映射$\psi\mathpunct{:}\Sigma \to \Omega $满足$U_{\alpha}\subseteq V_{\psi{\alpha}},\forall \alpha \in \Sigma$.复合$\varphi\circ \psi \mathpunct{:}\Sigma \to \Lambda$，满足$U_{\alpha}\subseteq W_{\varphi\circ \psi{\alpha}},\forall \alpha \in \Sigma$。由此有交换图：
\[\xymatrix{
\F^{+}(W) \ar[dr] \ar[rr] &&\F^{+}(U) \\
&\F^{+}(V) \ar[ur]
}\]
以下证明$\F^{+}$满足定义1.3中的条件(c),即对于$X$的任一个开集$W$和$W$的一组开覆盖$\{W_{\alpha}\}_{\alpha \in \Lambda}$,有
如下的正合列：
\[
0 \rightarrow \F^{+}(W) \rightarrow \prod_{\alpha \in \Lambda}\F^{+}(W_{\alpha})\rightarrow \prod_{\beta\in \Lambda}
\prod_{\alpha \in \Lambda}\F^{+}(W_{\beta}\cap W_{\alpha})
\]
设$x\in \F^{+}(W)$满足$x|_{W_{\alpha}}=0,\forall \alpha \in \Lambda$.存在$W$的开集基覆盖$\{V_{\beta}\}_{\beta \in \Omega}$使得$x$可由$\sS(\{V_{\beta}\}_{\beta \in \Omega})$
中元素表出。另一方面，存在$W_{\alpha}$的开覆盖$\{U_{\alpha_i}\}_{\alpha_i \in I_{\alpha}}$以及映射$\mu_{\alpha}\mathpunct{:}I_{\alpha}\to\Omega$满足
$U_{\alpha_i}\subseteq V_{\varphi(\alpha_i)},\forall \alpha \in \Lambda$.故$\{U_{\alpha_i}\}_{\alpha_i \in I_{\alpha},\alpha \in \Lambda}$是$\{V_{\beta}\}_{\beta \in \Omega}$的一个加细。又因为
\[ x|_{U_{\alpha_i}}=0,\forall \alpha \in \Lambda,\forall i \in I_{\alpha}\]
故，在$\F^{+}(W)$中$x=0$。\par
由于以下的图交换：
\[\xymatrix{
& \F^{+}(W_{\alpha}) \ar[dr]\\
\F^{+}(W)\ar[ur] \ar[dr]& &\F^{+}(W_{\alpha}\cap W_{\beta})\\
&\F^{+}(W_{\beta}) \ar[ur]
}\]
可以得出
\[ Im(\F^{+}(W))\subseteq D=ker(\prod_{\alpha \in \Lambda}\F^{+}(W_{\alpha})\rightarrow \prod_{\beta\in \Lambda}
\prod_{\alpha \in \Lambda}\F^{+}(W_{\beta}\cap W_{\alpha}))\]
任取$x=(x_{\alpha})_{\alpha \in \Lambda} \in D$,由于$x_{\alpha}\in \F^{+}(W_{\alpha})$,存在$W_{\alpha}$的开集基覆盖$\{V_{i_{\alpha}}\}_{i_{\alpha}\in I_{\alpha}}$,使得$x_{\alpha}=(y_{i_{\alpha}})_{i_{\alpha}\in I_{\alpha}}\in \sS(\{V_{i_{\alpha}}\}_{i_{\alpha} \in I_{\alpha}})$.
\newline
\textbf{断言：}
\[ (y_{i_{\alpha}})_{i_{\alpha}\in I_{\alpha},\alpha \in \Lambda} \in \sS(\{V_{i_{\alpha}}\}_{i_{\alpha} \in I_{\alpha},\alpha \in \Lambda})
\]
设$U$是开集基中的元素满足$U\subseteq V_{i_{\alpha}}\cap V_{i_{\beta}}$,则存在$W_{\alpha}\cap W_{\beta}$的开集基覆盖
$\{U_{i_{\alpha,\beta}}\}_{i_{\alpha,\beta}\in I_{\alpha,\beta}}$且含$U$为开覆盖的元素，将此覆盖分别扩充为$W_{\alpha}$和
$W_{\beta}$的开集基覆盖，并分别是$\{V_{i_{\alpha}}\}_{i_{\alpha} \in I_{\alpha}}$和$\{V_{i_{\beta}}\}_{i_{\beta} \in I_{\beta}}$的加细。由于
\[x_{\alpha}|_{W_{\alpha}\cap W_{\beta}}=x_{\beta}|_{W_{\alpha}\cap W_{\beta}} \]
可以得出
\[ y_{i_{\alpha}}|_U=y_{i_{\beta}}|_U \]
断言得证。\par
由$(y_{i_{\alpha}})_{i_{\alpha}\in I_{\alpha},\alpha \in \Lambda}$定义出$\F^{+}(W)$中的元素$y$,满足$y\mapsto x=(x_{\alpha})_{\alpha \in \Lambda}$.故$\F^{+}$是$X$上的层。
\par
(第二步)证明$\F^{+}$的泛性。若$U$是开集基中的元素，则$\{U\}$可视为$U$
的一个开集基覆盖，故
\[ i\mathpunct{:}\F(U)\to \varinjlim_{\{U_i\}_{i\in I}\text{开集基覆盖}}\sS(\{U_i\}_{i\in I})=\F^{+}(U)
\]
满足函子性。\par
设$\G$是$X$上的一个层，并且存在函子间的态射$h\mathpunct{:}\F\to\G$.考虑
$X$上的任一开集$V$,则
\[\xymatrix{
\F^{+}(V)\ar@{=}[r]\ar[d]^{f_v} &\varinjlim_{V\text{的开集基覆盖}\{U_i\}_{i\in I}}\sS(\{U_i\}_{i\in I})\ar[d]^{\prod_{i\in I}h_{U_i}}\\
\G(V) \ar@{=}[r]&Ker(\prod_{i\in I}\G(U_i)\to \prod_{i\in I}\prod_{i\in I}\G(U_i\cap U_j))
}\]
对任意的$W\subseteq V$并且满足交换图：
\[ \xymatrix{
\F^{+}(W)\ar[r]\ar[d]^{f_U}&\F^{+}(V)\ar[d]^{f_V}\\
\G(W)\ar[r]&\G(V)
}\]
唯一性：设$g$是$\F^{+}$到$\G$的态射并满足$h=g\circ i$,则对于开集基中的元素$U$,有
\[f|_U=g|_U \mathpunct{:}\F^{+}(U)\to \G(U) \]
由此可得出$f=g$.
\end{proof}
\begin{example}
设$X=SpecA$,其中$A$是含幺元的交换环。由命题1.15，$\{D(f)\}_{f\in A}$是$X$的开集基。考虑开集基中的任一元素$U$,取定$f\in A$使得$U=D(f)$,定义对应$U \mapsto A_f$.若$D(f)\supseteq D(g)$,则
$V(f)\subseteq V(g)$,故$g\in\sqrt{(g)}\subseteq \sqrt{(f)}$,即存在$n\in \N$和$\alpha \in A$满足$g^n=f\cdot \alpha$.因此存在自然的环同态：
\begin{align*}
A_f & \stackrel{}{\rightarrow} A_g\\
\frac{a}{f^l} &\mapsto \ \frac{a\alpha^l}{g^{nl}}\\
\end{align*}
而且$D(f)\supseteq D(g)\supseteq D(h)$,相应环同态满足交换图
\[ \xymatrix{
A_f \ar[rr]\ar[dr] &&A_g \ar[dl]\\
&A_h
}\]
这定义出一个开集基上的预层，利用命题1.5可得到$X=SpecA$上的层，记
此层为$\hO_X$,称为$X$的结构层。\par
以下证明：$A_f \stackrel{i}{\cong}\hO_X(D(f)) $.
\par
任取$x\in \hO_X(D(f))$,存在$D(f)$的开集基覆盖$\{D(h_i)\}_{i\in I}$,由于$D(f)$是拟紧的，存在有限子覆盖$\{D(h_i)\}^{n}_{i=1}$,而且这有限子覆盖
可以视为原来覆盖的加细。故$x$可由
\[ (\frac{\alpha_i}{h_i^{s_i}})^{n}_{i=1}\in \prod_{i=1}^{n} \hO_X(D(h_i)) =\prod_{i=1}^{n}A_{h_i}
\]
表出，并且满足
\[\frac{\alpha_i}{h_i^{s_i}}|_{D(h_ih_j)}=\frac{\alpha_j}{h_j^{s_j}}|_{D(h_ih_j)}
\]
不失一般性可以假设$s_1=s_2=\cdots=s_n=s$,故在$A_{h_ih_j}$中有
\[\frac{\alpha_ih_{j}^{s}}{(h_ih_j)^{s}}=\frac{\alpha_jh_i^s}{(h_ih_j)^{s}}
\]
即存在正整数$k$(不依赖于$i,j$),使得
\[(h_ih_j)^{k}(\alpha_ih_j^{s}(h_ih_j)^{s}-\alpha_jh_i^{s}(h_ih_j)^{s})=0
\ \forall i,j \in I
\]
另一方面，
\begin{align*}
D(f)&=\bigcup_{i=1}^{n}D(h_i)\\
\Leftrightarrow V(f)&=\bigcap_{i=1}^{n}V(h_i)=V(\Sigma_{i=1}^{n}(h_i))\\
\Leftrightarrow \sqrt{(f)}&=\sqrt{\Sigma_{i=1}^{n}(h_i)}
\end{align*}
故存在一个正整数$l$使得
\[ f^l=\Sigma_{i=1}^{n}a_ih_i,\ a_i\in A \]
因此可得：
\[ f^{ln(2s+k)}=\Sigma_{i=1}^{n}b_ih_i^{2s+h},\ b_i\in A\]
令
\[ \alpha =\Sigma_{i=1}^{n}\alpha_ib_ih_i^{s+k} \in A,\ \text{则}
\frac{\alpha}{f^{ln(2s+k)}}\in A_f \]
\textbf{断言：}
\begin{align*}
A_f & \stackrel{}{\rightarrow} A_{h_i}\\
\frac{\alpha}{f^{ln(2s+k)}} &\mapsto \ \frac{\alpha_i}{h^{s}_{i}}
\end{align*}
因为$D(h_i)\subseteq D(f)$,则$\exists t_i\in \N,c_i\in A$，使得$h_i^{t_i}=c_if$,在限制映射（自然映射）下
\[ \frac{\alpha}{f^{ln(2s+k)}}\mapsto \frac{c_i^{ln(2s+k)}\cdot\alpha}{h_i^{t_iln(2s+k)}}\].
事实上，在$A_{h_i}$中，有
\[\frac{c_i^{ln(2s+k)}\cdot\alpha}{h_i^{t_iln(2s+k)}}= \frac{\alpha_i}{h^{s}_{i}} \]
因为容易验证\[ h_i^{s+k}({c_i^{ln(2s+k)}\cdot\alpha}\cdot{h^{s}_{i}}-{h_i^{t_iln(2s+k)}}\cdot \alpha_i)=0\]
即自然映射
\[ i\mathpunct{:}\ A_f \to \hO_X(D(f)) \ \text{是满射}\]
以下证明$i$是单射。\par
设$\frac{a}{f^u}\in A_f$在自然映射$A_f\to A_{h_i}$下映为$0$，即在$A_{h_i}$中$\frac{a\cdot c_i^{u}}{h_i^{ut_i}}=0$,故
存在$v_i\in \N$,使得$a\cdot c_i^{u}\cdot h_i^{v_i}=0$,所以
\[ a\cdot h_i^{v_i+ut_i}=a\cdot (c_if)^u\cdot h_i^{v_i}=0\]
因为
\[ f^l=\Sigma_{i=1}^{n}a_ih_i,\ a_i\in A \]
所以
\[ f^{l(\Sigma_{i=1}^{n}(v_i+ut_i))}=\Sigma_{i=1}^{m}d_ih_i^{v_i+ut_i} \ d_i\in A\]
\[af^{l(\Sigma_{i=1}^{n}(v_i+ut_i))}=0 \]
即$i$是单射。
\end{example}
\begin{definition}
设$\F$是$X$上的层，对任意的$x\in X$.定义
\[ \F_x=\varinjlim_{x\in U\text{是$X$的开集}}\F(U) \]
称为$\F$在$x$点的\textbf{茎（Stalk）}
若$\F,\G$是$X$上的两个层，$f\mathpunct{:}\F\to \G$是态射，诱导了
$\F_x \to \G_x$,这一映射记为$f_x$.称
\begin{list}{}{}
\item[$\cdot$] $f$是单射，如果$f_x$是单射，对任意的$x\in X$.
\item[$\cdot$]$f$是满射，如果$f_x$是满射，对任意的$x\in X$.
\end{list}
\end{definition}
\begin{remark}
若$\F$是$X$的预层，对任意的$x\in X$，同样可定义\[ \F_x=\varinjlim_{x\in U\text{是$X$的开集}}\F(U) \]
并且，若$\F^+$是$\F$的层化，则$i\mathpunct{:}\F\to \F^{+}$诱导出$i_x\mathpunct{:}\F_x\to \F^{+}_x$是同构。
\end{remark}
\begin{proposition}
若$f$是层$\F$到（预）层$\G$的态射，若$f$是单射，则对任意的开集$U\subseteqq X$,
\[ f|_U \mathpunct{:} \F(U) \to \G(U)\]
是单射。反之显然成立。
\end{proposition}
\begin{proof}[证明]
设$\alpha,\beta \in \F(U)$,若$f(\alpha)=f(\beta)\in \G(U)$,有对任意的$x\in U$,在$G_x$中，$f(\alpha)=f(\beta)$。而
$f_x \mathpunct{:}\F_x \to \G_x$是单射，故在$\F_x$中，$\alpha=\beta$,$\forall x \in U$.故任意的$x \in X$,存在$x$的一个开邻域
$V_x\subseteq U$,使得$\alpha|_{V_x}=\beta|_{V_x}$,这些$V_x\subseteq U$组成了$U$的一个开覆盖，又因为$\F$是层，故在$\F(U)$中，$\alpha=\beta$。
\end{proof}
\begin{remark}
若$f\mathpunct{:}\F \to \G$是满同态，对开集$U\subseteq X$,一般没有$f_U \mathpunct{:}\F(U) \to \G(U)$是满射。
\end{remark}
\begin{definition}
设$f\mathpunct{:}X\to Y$是拓扑空间的连续映射，$\F$是$X$上的一个层，可定义$Y$上的一个预层$f_{*}(\F)$为：
\[ \text{对$Y$的任一开集$U$},f_{*}(\F)(U)=\F(f^{-1}(U)) \]
可以直接验证$f_{*}(\F)$是$Y$上的层。\par
若$\G$是$Y$上的层，可定义一个$X$上的预层为：
\[ \text{对$X$的任一开集$U$},U\mapsto \varinjlim_{\text{$Y$中包含$f(U)$的开集$V$}}\G(V) \]
这个预层的层化，记为$f^{-1}(\G)$.
\end{definition}
\begin{proposition}
设$f\mathpunct{:}X \to Y$的连续映射，$\F,\G$分别是$X,Y$上的层。则有如下的伴随性：
\[ Mor_X(f^{-1}(\G),\F)=Mor_Y(G,f_{*}(\F))\]
\end{proposition}
\begin{proof}[证明]
首先证明存在自然态射
\[ \xi \mathpunct{:} f^{-1}(f_{*}(\F)) \to \F\]
\[ \eta \mathpunct{:} \G \to f_{*}(f^{-1}(\G))\]
对于$X$上的任一开集$U$,有
\[ \xi_U \mathpunct{:} f^{-1}(f_{*}(\F))(U)=\varinjlim_{\text{$Y$中包含$f(U)$的开集$W$}}f_{*}(\F)(W)
=\varinjlim_{f^{-1}(W)\supseteq U}(\F)(f^{-1}(W))\to \F(U)\]
对于$Y$中的任一开集$V$,有
\[ f_{*}(f^{-1}(\G))(V)=f^{-1}(\G)(f^{-1}(V))=\varinjlim_{W\supseteq f(f^{-1}(V))}\G(W) \leftarrow \G(V) \mathpunct{:}\eta_V \]
则可定义
\begin{align*}
Mor_X(f^{-1}(\G),\F) & \stackrel{p}{\rightarrow} Mor_Y(G,f_{*}(\F))\\
\alpha &\mapsto \ \eta \circ f_{*}(\alpha)
\end{align*}
\begin{align*}
Mor_Y(G,f_{*}(\F)) & \stackrel{q}{\rightarrow}Mor_X(f^{-1}(\G),\F) \\
\beta &\mapsto \ \xi \circ f^{-1}(\beta)
\end{align*}
最后说明$q\circ p=1$并且$p\circ q=1$.\par
对于任意的$\alpha \in Mor_X(f^{-1}(\G),\F)$ 以及$X$的任一开集$U$,希望证明：
\[ q(p(\alpha))|_U=\alpha |_U \mathpunct{:}f^{-1}(\G)(U) \to \F(U)\]
对任意的$x\in f^{-1}(\G)(U)=\varinjlim_{W\supseteq f(U)}\G(W){\thanks{事实上，由于层的态射都是将其看着预层的态射，我们可以这样假设}}$，即
$x=\varinjlim_{W\supseteq f(U)}y_W$,其中$y_W \in \G(W)$.
\begin{align*}
q(p(\alpha))|_U(x)&=\xi\circ f^{-1}(p(\alpha))|_U(\varinjlim_{W\supseteq f(U)}y_W)\\
&=\xi \circ \varinjlim_{W\supseteq f(U)}p(\alpha)|_W(y_W)\\
&=\xi\circ \varinjlim_{W\supseteq f(U)}f_{*}(\alpha)\circ \eta|_W(y_W)\\
&=\xi \circ \varinjlim_{W\supseteq f(U)}f_{*}(\alpha)|_W(\eta(y_W))\\
&=\xi \circ \varinjlim_{f^{-1}(W)\supseteq U}\alpha|_{f^{-1}(W)}(\eta(y_W))\\
&=\alpha |_U(x)
\end{align*}
同理可证$p\circ q=1$.
\end{proof}
\begin{exercise}
设$f,g$是拓扑空间$X$上的层$\F$到层$\G$间的态射。说明：$f=g$当且仅当对于开集集中的任何元素$U$,有：
\[f|_U=g|_U \mathpunct{:}\F(U)\to \G(U).
\]
\end{exercise}
\begin{exercise}
设$X$是有限集并赋予离散拓扑。$C$是一个Abel群。对$X$的任一个开集$U$,定义
\[
\F \mathpunct{:} U\mapsto \F(U)=C\]
证明：$\F$定义了$X$的一个预层。计算$\F^{+}$.
\end{exercise}
\begin{exercise}
设$\F$是$X$上的一个层。$s\in\F(X)$.记
\[ Supp(s)=\{x\in X: s\text{在$\F_x$中不为零}\} \]
证明：Supp(s)是$X$中的闭集。\par
举例说明：\[Supp(\F)=\{x\in X:\F_x \neq 0\}\]在$X$中既不是开集也不是闭集。
\end{exercise}
\begin{exercise}[层的粘贴]
设$X$是一个拓扑空间，$\{U_i\}_{i \in I}$是$X$的一个开覆盖。若对于每个$U_i,(i\in I)$都有层$\F_{i}$，并且
对于$i,j\in I$,有层的同构
\[ \varphi_{ij}\mathpunct{:}\F_i|_{U_i\cap U_j}\to \F_j|_{U_i\cap U_j}\]
满足：
\begin{list}{}{}
\item[(i)] $\varphi_{ii}=Id$
\item[(ii)] 在${U_i\cap U_j\cap U_k}$上，$\varphi_{ik}=\varphi_{ij}\circ \varphi_{jk}$
\end{list}
则存在$X$上的同构意义下唯一的层$\F$,满足：
\begin{list}{}{}
\item[(1)] $\psi_i\mathpunct{:}\F|_{U_i}\cong \F_i$
\item[(2)]在$U_i\cap U_j$上，$\psi_j=\varphi_{ij}\circ \psi_i$.
\end{list}
\end{exercise}
\begin{exercise}
设$\F,\G,\hH$是拓扑空间$X$上的层。层的正合列
\[
1\to \F \to \G\to \hH \to 1\]
定义为：对$\forall x \in X$,诱导出的
\[ 1\to \F_x \to \G_x \to \hH_x \to 1 \]
是Abel群的短正合列。\par
证明：对于$X$的任一开集
\[
1\to \F(U) \to \G(U)\to \hH(U) \to 1\]
是正合的。
\end{exercise}
\begin{exercise}[态射的粘帖]
设$\F$和$\G$是$X$上的两个层，$\{U_i\}_{i \in I}$是$X$的开覆盖。若
\[ \varphi_i \mathpunct{:} \F|_{U_i} \to \G|_{U_i} \ \forall i \in I\]
是层的态射，则存在唯一态射$\varphi\mathpunct{:}\F \to \G$满足$\varphi|_{\F|_{U_i}}=\varphi_i$当且仅当
$\varphi_i|_{\F|_{U_i\cap U_j}}=\varphi_j|_{\F|_{U_i\cap U_j}}$,$\forall i,j \in I$.
\end{exercise}
\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%% END %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% How to compile:
% install TeXLive 2009 as described below;
% put Adobe fonts into ~/.fonts (Linux) or C:\WINDOWS\fonts (Windows)
% run command sequences:
% xelatex a.tex; xelatex a.tex
% or
% pdflatex a.tex; pdflatex a.tex
% or
% latex a.tex ; latex a.tex; dvipdfmx a.dvi
% or (requires ghostscript)
% latex a.tex ; latex a.tex; dvips a.dvi; ps2pdf a.ps
%
% If you use 'winfonts' or 'adobefonts' option with latex/pdflatex, copy
% sim*.ttf and simsun.ttc into $TEXMFHOME/fonts/truetype/sim/ directory.
% Run `kpsexpand '$TEXMFHOME'` to get the value of $TEXMFHOME.
%
% If you use 'winfonts' option with xelatex on Linux, copy sim*.ttf and
% simsun.ttc into ~/.fonts .
%
% See documents of ctex, zhmetrics, fontspec and xetex to learn how to
% use new fonts.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%% ENVIRONMENT %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Tested with TeXLive 20090909 on Debian Squeeze:
% xetex r14602 3.1415926-2.2-0.9995.2
% pdftex r14549 3.1415926-1.40.10-2.2
% ctex r14619 0.93
% zhmetrics r14469
% cjk r15155 4.8.2
% xecjk r14567 2.3.5
% arphic r13822
%
% Way to install TeXLive 2009:
% install-tl -repository http://ftp.ctex.org/mirrors/texlive/tlnet/ -profile texlive.profile
%
% Content of texlive.profile(without the leading "%" and white spaces):
% # texlive.profile written on Fri Sep 4 07:00:20 2009 UTC
% # It will NOT be updated and reflects only the
% # installation profile at installation time.
% selected_scheme scheme-basic
% TEXDIR ~/texlive/2009
% TEXDIRW ~/texlive/2009
% TEXMFHOME ~/texmf
% TEXMFLOCAL ~/texlive/texmf-local
% TEXMFSYSCONFIG ~/texlive/2009/texmf-config
% TEXMFSYSVAR ~/texlive/2009/texmf-var
% binary_i386-linux 1
% collection-basic 1
% collection-fontsrecommended 1
% collection-langcjk 1
% collection-langlatin 1
% collection-latex 1
% collection-latexrecommended 1
% collection-xetex 1
% from_dvd 0
% option_desktop_integration 1
% option_doc 0
% option_file_assocs 1
% option_fmt 1
% option_letter 0
% option_path 0
% option_post_code 1
% option_src 0
% option_sys_bin /usr/local/bin
% option_sys_info /usr/local/info
% option_sys_man /usr/local/man
% option_w32_multi_user 1
% option_write18_restricted 1
% View the generated pdf on Debian Squeeze(20090909) with:
% xpdf (3.02-1.4+lenny1) + xpdf-chinese-simplified (20040727-1, depends cmap-adobe-gb1 (0+20051207-5))
% evince (2.26.2-2) + poppler-data (0.2.1-5)
% !!! Remember installing poppler-data because it contains data about cmap-adobe-*.
%
% Hope these information useful for TeX newbies
% Liu Yubao <yubao.liu at gmail dot com>
%
% ChangeLog:
% 2009-09-11 Liu Yubao
% * initial version, v0.1[/tex]