Archive - Mar 10, 2005

作为群和解析流形的李群

首先群是一个基本的乘法结构,然后解析流形是良好的做分析的背景,两者组合在一起,也就是说令群的乘法是解析映射,决定了李群是非常重要的对象。
李群是可完全分类的群:
对李群的完全分类是通过绕行到其作为一个流形的切空间上进行的,即李代数。
一个李群的李代数由其所有群上左不变向量场构成。这个提升的好处是,如果两个李群同构,则其各自的李代数也同构;反过来如果两个李代数同构,则各自的李群局部同构,如果我们限定于单连通李群,则局部同构可扩充为同构。因此单连通时李群与李代数可以一一对应。
然后的问题就是李代数的完全分类,由Cartan-Killing完成。

数值计算的误差传播是随机的吗?

要理解数值计算的误差传播然后试图加以控制,第一个问题,就是该传播过程可以认为是随机的吗?
1962年Peter Henrici提出一个计算误差传播的概率模型,用随机变量来刻画数值计算过程中每一步的基本误差,以此试图预计计算解相对于真实解的分布。但1987年Fransoise Chatelin证明,除非事先知道精确数值解,不可能由此预测误差形态。
因此,我们只能说计算机的数值计算过程当中,误差的传播不是随机的,实际上,步骤之间的误差是强相关的,正是这种强相关导致随机的假象。
由此种相关性可以获得一种计算误差的控制方式。

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