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常见的直观定义是，对于有限的系统，在一个有限时间内，相空间被完全且均匀地访问到；对于无限的系统，即所谓热力学极限下，相空间是趋向被遍历的。
例如，样本数量是一个有限数值n，一个真实随机变量每一个取值的几率是1/n。
问题是，1）这是在刻画自然随机变量的实质，2）还是只是力图在表象上描述某一种自然随机变量？
如果答案是1），那接下来的问题是，实际应用的机器随机数本质上总是确定性产生的，还具有一个有限大小的周期，因此只能期望数值模拟只是在一个近似性的意义上进行，这样的模拟需要进行相应的误差控制才是有一定意义的。
但是否有可能答案是2）呢？
也就是说，让我们追问一下，自然随机性到底具有何涵义？

逾渗是一种典型的可以使用概率指标来描述的过程。
数值上模拟的关键是随机数的产生，尽管本质上只能获得伪随机数，但自然概率现象就真的具有真随机性吗？
不过随机的本质是什么样的并不重要，数值模拟是某个方面的有效描述，而对于自然，这个方面的描述是可比拟的。
似乎还有点意思的问题是，为什么这样一个数值随机模拟是可行的，而这种可行是不是也还是有局限的呢？
从自然的角度而言，这样的常常被称为偶然性的过程，是涉及到结构生成非常重要的部分。

由于以前使用的一个免费PHPBB被删除,而本来使用的WORDPRESS功能不敷使用,因此痛下决心更换水滴drupal,水滴具有以下显著特点：
可以进行2维索引；
具有wiki功能；
具有BBS功能；
具有BOOK功能；
在anti-spam方面比wordpress强大。

从现象提取出一个对称的规则,就几乎等于我们的"理解"吗?
几个历史上的例子:
古希腊的圆圈宇宙系统
牛顿力学理论的伽利略不变性
麦克斯韦尔电磁理论的洛仑兹不变性和规范不变性
进一步，对称性是不是可以干脆放置在自然的最基础层面上呢？
爱因斯坦采取此强烈倾向：
相对论不变性和等价原理

源于Hilbert第5问题(针对一些函数方程的可微性条件是否可以弱化的问题)的一个一般形式：
拓扑群如果局部欧氏，就是李群。（Montgomery, Zippin, 1952）
即如果把解析结构减弱为拓扑结构，只要局部欧氏，则仍其为李群。
这个问题可以采取同伦的看法。
所谓作用在两个拓扑空间之间的两个连续映射同伦，是指这两个映射如果从同一点出发，所分别得到的像在其所处空间是可道路连通的，并且该道路可作为原像点的函数而连续。
在同伦的看法下，对于李群的群结构可以使用这样一个角度：H-空间。
所谓H-空间，即在其上定义了一个配对运算和一个该配对运算下的同伦单位元的拓扑空间，然后对该单位元作左右的配对运算所得之映射皆同伦于该空间上之单位映射

首先群是一个基本的乘法结构，然后解析流形是良好的做分析的背景，两者组合在一起，也就是说令群的乘法是解析映射，决定了李群是非常重要的对象。
李群是可完全分类的群：
对李群的完全分类是通过绕行到其作为一个流形的切空间上进行的，即李代数。
一个李群的李代数由其所有群上左不变向量场构成。这个提升的好处是，如果两个李群同构，则其各自的李代数也同构；反过来如果两个李代数同构，则各自的李群局部同构，如果我们限定于单连通李群，则局部同构可扩充为同构。因此单连通时李群与李代数可以一一对应。
然后的问题就是李代数的完全分类，由Cartan-Killing完成。