数学的目的，在于为问题提供抽象与计算两个方面的解决方案，而抽象与计算又不是相互独立，而是紧密关联的。
数学的历史,就是人类计算与抽象交互作用的历史.
早期的数学问题及其解决方案
多项式方程的求解
抽象所导致的历史质变
抽象代数的成型，正是基于抽象概念构建演绎系统的结果
几何化
古希腊四大学科：
反射光学
静力学
浮体力学
天文学
都是采用几何化方式予以理解和解决问题。
【例1】
地月与地球太阳距离比
地球半径
【例2】
阿基米德采用切薄片的方式来解决关于面积、体积、重心相关几何问题。
牛顿所学习的微积分主要来自J.Wallis的《Arithmetica Infinitorum》（无穷算术）和笛卡尔的《几何学》。
而他的微积分研究主要是源于力学研究的需求，其力学研究则最初是受到I.Barrow所讲授的运动学课程的激发。
苏联几乎以一国之力,对抗整个欧美,持续了将近1个世纪,其中最大的底气之一,是他的基础科学之强盛,并进而决定了他具有独立研究先进技术的能力. 所以考察这样一个在托尔斯泰和陀思妥耶夫斯基笔下极端穷困的国家,何以能够发展出强盛的基础科学,是非常重要的.这里面,很好的一个样本,是莫斯科数学学派的发展历史.
在彼得大帝一世(1672~1739)之前,俄罗斯是基础科学方面,几乎比中国好不到哪里去.彼得一世有远见,着眼于科学在俄罗斯的发展,做了一系列的事情,例如建立了彼得堡科学院,并陆续为科学院聘任了一些当时的科学大家,例如欧拉\哥德巴赫\伯努利等等.当然,这些人也就是在俄国有吃有喝住一段时间而已,但肯定给俄罗斯科学教育界带来了影响,尽管是很缓慢的影响.
约1百年之后,俄国本土出现了一个罗巴切夫斯基,他发现的非欧几何,成为俄罗斯本土出现的第一个排得上号的数学成就.然后这种酝酿的状态再持续了1 百年左右,一直到19世纪晚期,出现了以车比雪夫为中心的彼得堡数学学派,包括马尔可夫\李亚普诺夫\伯恩斯坦\克雷洛夫\维诺格拉多夫等.主要围绕解析数论\概率论和数学分析,应该说,还是处于经典分析的范畴,相比同时代的法德科学中心,还处于比较弱的状态.
进入20世纪之后,叶果洛夫在莫斯科大学开办数学讨论班作为种子,莫斯科数学学派开始崛起,并成为促使数学从经典数学转入现代数学的一支重要力量.
叶果洛夫和姆罗德舍夫斯基一起开的讨论班,最初以由经典分析衍生出来的微分几何为主题,而几何问题的分析学应用,促使人们需要进一步澄清实分析的基本概念, 所以当时开始了实分析的初步研究,叶果洛夫本人积极参与了这个动向,并及时引入了莫斯科讨论班,该班的学生鲁金,因此而成为实分析的大师,而恰好,鲁金也是一个具有非凡教学与引导才能的人,并由此而令莫斯科学派成型.
鲁金的主要学生:门索夫\辛钦\亚历山大洛夫\乌里松\苏世林\柯尔莫哥洛夫\诺维科夫\刘斯铁尔尼克\等,都是从扎实而雄厚的实分析核心出发,各自为函数论做出了成就,更进一步延伸,奠定并发展了现代数学的一系列新领域.
其中最卓著的有:
1,从实分析开始向下向基础挖，做出一个更宽厚的基础，就是拓扑学。乌里松的点集拓扑学,亚历山大洛夫的代数拓扑学,其弟子庞特里亚金是最重要的拓扑学家之一,而柯尔莫哥洛夫也参与其中;
2,辛钦运用实分析工具开始了概率论的深入理解之路,随后柯尔莫哥洛夫则整个地在测度论基础上重建了概率论,使得概率论成为现代数学的一部分.进一步马尔可夫加入他们,为随机过程理论奠定了基础.
3, 基于实分析和拓扑学的既有成就,莫斯科学派为泛函分析贡献了重要基础.首先是刘斯铁尔尼克和史尼莱利曼从拓扑学角度解决变分学问题的讨论班,然后是柯尔莫哥洛夫对泛函空间的基础性研究,和函数逼近论的基础研究,最后,由柯尔莫哥洛夫的学生盖尔芳特为泛函分析贡献了最重要的构架性成就,并通过这些工作,使得泛函分析与代数学和拓扑学的综合运用达到新的境界.
4,分析学当然要用到常微分方程上面来,分析学的现代化也就当然地导致了常微分方程理论的进步.斯捷潘诺夫\彼得罗夫斯基\庞特里亚金等,都为常微分方程这个古老的领域,取得了现代化的成就.
5,更进一步,经过现代化的分析学还得要用到更复杂的数学物理方程包括偏微分方程上去,特别是物理学与技术科学产生的需求,也需要现代分析学对此作出贡献.彼得罗夫斯基\刘斯铁尔尼克\吉洪诺夫\索伯列夫等,都参与了这一事业,特别是索伯列夫为广义函数理论奠定了基础.
6,复分析的开拓者戈鲁别夫和普列瓦洛夫,都是叶果洛夫的学生,都有很好的实分析底子,后来鲁金\辛钦\门索夫都参与进来过,后来出现的拉普伦捷夫\盖尔冯德\凯尔迪什\马库舍维奇等,都是重要的复分析家.
7,数论当然严重地依赖分析的工具,辛钦就没有放过数论,并组织了相应的讨论班.史尼莱利曼和盖尔冯德都因此而做了很好的数论工作,特别是哥德巴赫问题.
上述所有这些,都极大地扩张了现代分析学的领域,也可以说,追根溯源,都是源于鲁金教给他们的实分析,实在是最好的基础.
当然,也有人做代数,例如库洛什.
了不起的是,以柯尔莫哥洛夫为驱动中心,莫斯科学派还把数学的触角延伸到了数学基础\数学哲学\数理逻辑\数学史\控制论\生物数学\计算理论\应用数学...等等,做了一大批创新的事情.
所以说,基础研究,一定要持续,只要持续,1百年,2百年,自然会有崛起的东西出来,成群的崛起.我相信,中国也会有的,只要我们持续地做讨论班,呵呵.
当然,从内部而言,就是我们得首先占据自己最扎实的领地.莫斯科学派是实分析.这是遵循了自然的发展规律的.
然后,得有核心人物先站起来.
我们各自努力吧.
数学是否需要一个基础？这个问题在19世纪变得尖锐和热烈起来。
Felix Klein在1893年8、9月间，非常感性地描述了当时的三类数学家，他们对于数学的基础抱有相当不同的态度和观念。
Among mathematicians in general, three main categories may be distinguished; and perhaps the names logicians, formalists, and intuitionists may serve to characterize them, (1) The word logician is here used, of course, without reference to the mathematical logic of Boole, Peirce, etc. ; it is only intended to indicate that the main strength of the men belonging to this class lies in their logical and critical power, in their ability to give strict definitions, and to derive rigid deductions therefrom. The great and wholesome influence exerted in Germany by Weierstrass in this direction is well known. (2) The formalists among the mathematicians excel mainly in the skilful formal treatment of a given question, in devising for it an "algorithm." Gordan, or let us say Cayley and Sylvester, must be ranged in this group. (3) To the intuitionists, finally, belong those who lay particular stress on geometrical intuition (Anschauung), not in pure geometry only, but in all branches of mathematics. What Benjamin Peirce has called " geometrizing a mathematical question" seems to express the same idea. Lord Kelvin and von Staudt may be mentioned as types of this category. 1
计算，或者狭义一点也叫运算。是基于抽象而遂行的一种高级认知方式。
数学的计算传统
整个数学的历史，是计算与抽象相互作用的历史。因此，数学的计算传统，和数学的抽象传统，几乎是同时开始的。
原始计算
广泛存在于埃及、巴比伦、印度、中国的早期计算，包括：
整数与分数的算术运算；
简单代数方程（含一元二次方程）；
各种面积体积的计算；
基本运算法则的抽象，伴随着基本运算经验的积累而出现。
这个时期，计算最重要的成就，就是酝酿出了古希腊的演绎抽象成就。
古代计算
中国：
多元一次方程组-遍乘直除法
割圆术
三次方程正根-开带从立方
内插公式-招差术
一次同余组-大衍求一术
高次方程组数值解-正负开方术
印度
阿拉伯
近代计算
无穷小算法最终导致了微积分的成型。
解析几何运用计算来解决几何问题。
近代计算成就的累积导致了近代数学抽象演绎基础的奠定。
分析学的基础
柯西极限论
维尔斯特拉斯算术化
康托尔集合论
代数学的基础
1842～1845年剑桥分析学会皮考克《代数通论》
1846年刘维尔发表伽罗华群论工作。
非欧几何与希尔伯特公理化运动
现代计算
计算的机械化
计算机械化的最大成就，就是计算机系统的理论与产品实现。
智能的计算实现
可以通过计算实现的智能，是一个特定的范畴，而不是一般而言的智能。