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Euler和Lambert猜测$pi$是超越数；
Hermite: 对于任意非0有理数r,$e^r$是超越数；
Lindemann:对于任意无理代数数r,$e^r$是无理数+$( e^(\pi i) =-1)=>\pi$为超越数。

证明思路：取z的多项式p(z)的两个根`z_0,z_i`,有如下积分式：

`int_(z_0)^z(e^(-z) p(z)^m)/(z-z_i)dz`

当p的系数为整数，甚至高斯整数时，这类积分满足一些代数关系（？）
`=>`如果`z_1,...z_n`为系数为高斯整数的不可约多项式之两两不同的根，则$\sum_(i=1)^n(e^(z_i))$为无理数。
`=>e^(z_i)`是无理数。

证明：如果`e^(z_i)`是有理数，则`sum_(j=0)^n s_j z^j`有有理解`e^(z_i)`,并且`sum_(j=0)^n (e^(z_i))^j s_j=0`,其中`s_j`为`e^(z_i)`的对称函数。
但，`(e^(z_1),...,e^(z_n))`的对称函数`(s_1,...,s_n)`在有理数域是线性独立的。

[[Lindemann的争气故事]]

基于Euler猜想：`(logb)/(loga)`为超越数，其中`a,b in`Q,`a,b>1`,`(logb)/(loga) !in`Q。
Hilbert第7问题：`\alpha^\beta`为超越数或者至少为无理数，其中`\alpha`为代数数，`\beta`为无理代数数。
1929年Gelfond证明了`\beta`为虚二次无理数的情形。
1930年Kuzmin和Siegel进一步推广到`\beta`为实二次无理数情形。
1934年Gelfond和Schneider分别彻底解决第7问题。

`e+\pi`是超越数吗？
ref: Alan.Baker & D.W.Masser: Transcendence Theory, Advances and Appeications