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只是在实数上出现的分析问题，就有可能困难得要求把它置于更一般的基底，才有可能找到解答。
首先有下面两个准备好的东西：

1.拓扑结构
一个满足[[第二可数公理]]的[[Hausdorff空间]]M
2.把实数域扩充为欧式空间R
以集合的手段做成一个实数组[tex]\{x_1,x_2,...x_n\}[/tex],以这样一个数组做成一个元素的样式，再在这样的元素之间定义加法和实数对它的乘法，就架起了一个矢量空间。
然后在该矢量空间上引入一个拓扑结构，即通过在其上定义一个典型的距离函数，使其成为度量空间，然后以此距离来定义开集。经过如此装备得到的空间就是欧式空间R。

如何给上面准备好的拓扑结构赋予微分结构呢？
1.构造出流形：让M的任一元素x都有一个邻域U同胚于R的某一个开集。
2.利用流形M上面的那些同胚映射搭建微分结构：取M的由一些邻域构成的开覆盖{U,V,W,...}，这些邻域到R的所有同胚映射所构成的坐标卡集合是[tex]C^r[/tex]相容的。
M上的两个坐标卡是[tex]C^r[/tex]相容的，即要求它们的定义域或者是不相交的；或者是相交的，则要求经由其交集而合成得到的它们的值域之间的R上的坐标变换函数都是[tex]C^r[/tex]的。
同胚的拓扑流形上可能搭建出不同构的微分结构。

Milnor怪球 http://b.kosmos.cn/math/milnor_7-sphere.pdf