丘成桐：

今天很感谢光明日报请我来，在这里受到天林总编和各位编辑的热情招待，又看到很多青年学生也在这里，我很感动。今天我跟大家聊一些问题，尤其是“Poincare庞加莱猜想”的破解问题。

“庞加莱猜想”破解过程

“庞加莱猜想”的破解，是一件令我们中国人很骄傲的事情。因为在中国本土上，我们第一次完成了一个伟大数学猜想的最后一步，震动了全球数学界!我觉得特别骄傲，因为从1979年那次回国开始，我一直期望中国本土能做出一流的工作。相信我们年轻的朋友、学生也因“庞加莱猜想”的破解而受到鼓舞。

我想讲讲从我本人的观点来看“庞加莱猜想”，也借这个题目向大家谈谈“庞加莱猜想”研究的过程、我自己走过的一些路，给大家提供一个参考。

1904年,法国数学家亨利·庞加莱提出了一个拓扑学上的猜想:在一个封闭的三维空间,假如每条封闭的曲线都能收缩成一点,这个空间就一定是一个三维圆球。这就是著名的“庞加莱猜想”。

这个猜想是几何学和拓扑学的中流砥柱，不攻克它，就会给高维拓扑学的研究带来极大的困难，就不能成功地对三维空间有所了解。而三维空间在物理学等许多学科里是一个最重要的空间。

庞加莱提出这个猜想，使数学家们开始进入高维拓扑学的境界。因此，一百多年来许多大数学家都希望解决这一难题。

我对“庞加莱猜想”花费了许多功夫。“庞加莱猜想”整个完成的过程，与我本来的构思也有相同和类似的地方。它的破解，使我觉得很兴奋。这是因为，一个伟大工作的完成，我们每个数学家都会兴奋。

今天早上我起床后，写了一首诗，写得不好，也不长。然而，是我真实的心情:

我曾小立断桥，

我曾徘徊河边，

想望着你绝世的姿颜。

我曾独上高楼，

远眺天涯路，

找寻你洁白无瑕的脸庞。

柔丝万丈，

何曾束缚你轻妙的体形。

圆月千里，

何处不是你的影儿，

漫漫长空，

你何尝静寂，

光芒一直触动着我的心弦。

那活动的流水，

那无所不在的热能，

不断地推动你那深不可测的三维。

活泼的舞姿，

终于摒弃了无益的渣滓。

造物的奥秘，

造物的大能，

终究需要他自己来启示。

在那茫茫的真理深渊里，

空间展开了它的华丽:平坦而素朴。

然而在这典雅的中间却充满可厌的精灵。

啊，

我们终于捕捉到这些精灵!

就在这一刹那间，

她却展现出她灿烂的身形。

让我们来祝贺，

我们终于听完了宇宙这完美歌剧的一章。

让我们高歌，

让我们来挑战，

让我们再揭开大自然的另一章。

这首诗描述了我30年来研究证明“庞加莱猜想”的整个心路历程。

我做研究生时，就知道这个猜想的重要性。我一直在研究几何学，由此对拓扑学产生了浓厚的兴趣。三维空间可以说是拓扑学的精华，有哪个拓扑学家不承认“庞加莱猜想”的重要性呢!

我们对自己生存的空间有绝对的好奇。古代希腊人不断地探索地中海以外的地域，也了解了地球是圆球，他们甚至量度了地球的直径。我们人类考虑空间结构已经有20多个世纪了，到目前还在讨论宇宙的结构。有深度文明的国家都会有人去考虑这些课题的哲学和科学意义。

我们用音乐、用文学来表达自己的心声。通过它们，我们的心灵与大自然交流，大自然迸发出的火花，使我们对科学有进一步的认识。

空间的结构正是如此，这是一个数学的伟大成果，也是艺术的结晶。

汉密尔顿方程的创立和发展，就如一首华丽的诗篇，屡败屡进，方向不移。数学家们花费20多年的努力，难道是为一些奖金吗？

记得在1975年，我和太太还没结婚，开车从美国东部到西南部，开了3000里路，我不停地在想“庞加莱猜想”这个问题。当然，太太当时不知道我在想这些（众笑）。

总之，我用了各种各样的想法和做法去证明这个问题。现在看来，大部分的努力都有意义。

热情，是我们对“庞加莱猜想”的研究能够发展下去的主要原因。我写这首诗，真实地表示了我当时的一种热情。

刚开始的十年，因为热情，我花了很多功夫，这些研究看上去好像与“庞加莱猜想”没有什么关系，可今天，在猜想完成的时候，在朱熹平、曹怀东300页的证明纸上，还可以看到我们在上世纪70年代一些想法的蛛丝马迹。

在上世纪70年代，我的朋友大概从这个时候开始正式引进瑞奇流方程。他是一个很重要的几何学家，用了我的建议，也用了我和我的朋友一起做出的一些步骤。

于是，我们慢慢地建立起攻克整个“庞加莱猜想”的方法。有了这个想法，就有了自信心。因为这么大的一个问题，如果缺乏自信心的话，那早就放弃了。

这样我们第一次开始有了自信心，是因为几何分析的方法开始有结果----用微分方程的方法，我将复数空间的“庞加莱猜想”解决了，这个问题叫做赛瓦立猜测。我当时解决了卡拉比猜想，是用微分方程来入手的，还用这个方法解决负函数空间的“庞加莱猜想”。

所以,我知道能够在空间里构造几何结构，这是一个对的方法，可是距离“庞加莱猜想”的证明相差得还很远。

在1978年时，我的同学瑟斯顿开始用完全不一样的方法，对这个伟大的猜想做出重要的贡献。因此他获得菲尔兹奖。他对整个三维空间和“庞加莱猜想”的深刻认识给了我很大影响。

到了1979年，我去康奈尔大学访问，汉密尔顿就跟我提出他创造的方程。我当时很惊讶他会去考虑这个方程。这个方程我认为很漂亮但非常困难，不大可能做出有什么意义的工作。可是,汉密尔顿是一个很有才华的数学家，对数学很有热情。

过了两年，汉密尔顿做出一个重要的成果。当时，我邀请他到普林斯顿研究所做一个演讲。我开始还不太相信他能有这个能力。可是，在听他讲演时，我对他很佩服，他真的做出一个很重要的工作。

从那时起，我建议汉密尔顿用他的方程去研究“庞加莱猜想”，我认为照这个路走下去一定会成功的。

可是，这是一个虚无缥缈的想法。我们虽然看到汉密尔顿先生解决了一个非常重要的环节，可是离完全解决“庞加莱猜想”还相差很远。汉密尔顿先生很努力，虽然他表面上很喜欢玩，但他研究了不少类似的方程，就这样他不停地研究。

到了1984年，我跟我的朋友李伟光写了一篇文章。这篇文章我很喜欢，它的内容推广了我博士毕业前的思路：“堤度估计”。我和我的朋友郑绍远一路在发展这类想法。到了我和李伟光写文章时，已经用抛物性方程来讨论问题了。

我对这个方程想得很深。当时写这篇文章以后，很多人不认为它重要，可是我不这么认为。我对汉密尔顿先生讲，做“庞加莱猜想”一个最重要的问题，就是需要有好的估值方法。我当时没有想到汉密尔顿先生会真正去做这个研究，而且花了很大的功夫去做，对此我非常佩服。

他看出了我们整个想法的重要之处，也看得出他的方程与我们的研究应该怎么配合。可是，他做的工作花了至少四年的时间，从没有想法到真正形成一个好的想法，中间可能几十个想法都没有用。

大约在1990年时，汉密尔顿将估计找出来了。找到这个估计，可以说是整个研究过程中的灵光一闪。

这是我们第一次找到解决问题的方向，从一开始到找到这个方向经过了10多年的功夫。这是很多数学家，不要讲普通的数学家，连很多著名的大数学家都不见得愿意做的事。

这还没有成功，只是看到了一个重要的方向。

1995年的一天，汉密尔顿先生跑来找我，讲他看出整个方向的走势。我看了后又是很惊讶，他怎么有这么大的能力干得如此漂亮，我真钦佩!

1997年,我到国内鼓励全国年轻学者和同行来做“庞加莱猜想”这个工作。因为从1979年开始，我带来一些几何方程的研究方法。国内做这方面研究的年轻人也不少，所以，我认为中国有能力完成这个问题。不幸的是，很多年纪较大的学者不愿意花很长的时间来奋斗。因为，他们愿意很快发表文章，不想花功夫去做这个艰苦又有真正意义的一流工作。

因此，我在南方找到朱熹平。后来，朱熹平到香港跟我谈了很久。他对这个工作有很大的兴趣，从他本来的研究方向转变过来。

到了2000年时，俄国数学家佩雷尔曼用了不同的方法，比我们走得快了一个步骤，得出几个重要的结果，让我们既惊讶又佩服。他的工作解决了当时我们几个人都不太懂的问题。虽然，汉密尔顿已把主要方向问题全部找出来了，可是一些重要的障碍还没有解决。

3年多来，朱熹平和曹怀东终于将种种障碍都搞清楚，最后将整个问题全部完成。我觉得这是一个很重要、很伟大的贡献。

今天，整个猜想都完成了，是一个很艰苦的过程，从汉密尔顿方程算起，大概是30年，所以我很兴奋，我的诗就是抒发了我现在的心情。

用热情去做一流的工作

有一点可以跟大家讲，汉密尔顿先生是一个伟大的科学家，他的学问高深，很少有人能跟他相比。可是5年前他申请美国自然资金竟然拿不到，这表明美国也有不公平。所以，我们做学问不是看别人是否重视我们。真正对学问有很大兴趣的时候，你不会因为金钱，不会因为基金拿不到而不去做。因为，“庞加莱猜想” 这个命题太优美、太重要了，我们没办法来抵抗它的魅力。就像我们年轻时，喜欢漂亮的女孩子一样，不会因为有困难而不去追求她。二三十年来我们所花的功夫，越战越勇，尽管也有过许多失败。

五六年前，我与汉密尔顿做这个工作的时候，有好几次我们以为成功了，可是最后发现还是有漏洞。因为，这个猜想实在太难了，有波动的时候我们要忍耐，要继续地前进。我们知道，做学问的热情绝对是解决重要伟大问题的一个必要条件。所有重要伟大的问题的解决，我想都必须经过这个过程，能否抵受住时间和种种困难的煎熬。我几十年来，在美国和欧洲认识了很多数学家和物理学家，看到他们是如何创造一个伟大的工作。没有一个伟大的工作不经过这个过程。假如你对学问没有极度的热情的话，你不可能成功。数学家绝对不能今天发表一篇小文章，明天发表一篇小文章，跟着人家走，这样不可能做成大学问。

我们要在一开始就建立一个宏大的结构，不停地去建构这个框架，慢慢地将它完成。同时，要跟很多不同的学者交往。事实上，你们年轻人更容易做这方面的事情，你们年轻，二三十岁，正是做大学问的时候。你们的脑力、活力比年纪大的人强得多，在学术界做伟大学问的人都是从年轻的时候就开始努力了。我们将年轻人看得最重要，因为只有他们才能够做第一流的学问。我希望中国政府、中国教授们将全部精力放在培养年轻人身上。因为，整个国家的前途就在他们身上。

记得在1975年时，我才29岁，我一方面去追求我太太，一方面做学问，这几个月的功夫我完成了几篇重要的文章，现在看来觉得很惊讶，为什么我当时有这个能力，能够在很短的时间内做这些重要问题？首先，可能是年轻的原因。所以，年轻的同学，你们的能力比你们想象得大得多，在这样的背景下，将你的想法看得重要一点，将自己的想法培养出来。不去做第一流的工作，而做第二流的工作和第三流的工作，这是错误的。因为做第二流的工作也要花时间，而且并不比做第一流的时间少。做惯了第二流的工作，你就又会去做第三流的工作（众笑）。这实际上对你自己的发展，对科学的发展都没有好处。你坚持做第一流的工作，你就会觉得愉快，觉得有所创造，就不觉得枯燥。

我的很多朋友，当时他们的工作不受到重视，是慢慢才受到重视的。每一个做学问的人都会经过这样的历练。假如我们觉得今天的工作是为了导师、朋友、基金才做，那你的学问始终会有一定的限度。假如你的学问是为了这些，我想你是走错了方向，绝对走错了方向！我们做的学问是跟整个数学大潮流有关。跟上这个大潮流，需要我们去欣赏大自然，与大自然交流，产生共鸣。假如不能做到这一点，就不可能做好学问。

我和物理学家有很多来往，因为我从他们那里得到很多想法，这是我从数学家身上所得不到的。这些想法不一定对我证明数学问题有帮助，可是我从他们那里得到灵感和感情，能够和自己产生共鸣。我觉得这种感情需要培养。所以，我有时候谈到数学与文学、数学与物理的联系，因为我从那里培养出自己的感情。

我想年轻人也应当多念书，不仅读专业的书，也读其他方面的书，才可能成才。这些知识是你考试所不能得到的，因为考试是其他人写下题目，你去解决，并不是你自己去创造，我们讲的是怎么样去创造，怎么样去解决，这两个过程是连在一起的。

此外，你还需要种种修养，无论是数学、物理、文学的修养都需要。在美国的名校，比如哈佛大学或者斯坦福大学就很注重通才的培养，一个学期里，学生应该去学不同的学科，有了这些教育，才能够掌握种种不同的接触大自然界的方法和能力。而且，我们还要从朋友、同学那里得到养分----这些是我们做学问不可缺少的养分。

这些养分不是一朝一夕能得到的，是需要花很多功夫才能培养出来的。所以，与师生、朋友的接触，让我们得到很多知识，这种知识是课本上得不到的。

做学问还需要有一个好的基础。我小的时候始终没有把物理学好，长大后虽然对物理也有点贡献，但不能说对它有深刻的想法。我为什么今天要讲这点呢？因为你们大学生、研究生，正是需要培养最基本看法的时候，有很多想法是一个直觉，这个直觉是从小就开始培养的。我看一些数学，尤其是几何，一眼看去，就会有直觉的反映。可是，我看物理上的题目就没有这种直觉了，因为我的基础不好。因此，基本功夫不可以放弃，从早就要学习。

所以，你要修养自己的感情、培养自己的基本功，这是学有所成最重要的条件，这点绝对不能泯灭。至于怎么做大学问，你的感情一定要丰富，同时境界要放得很高远。感情靠不停地培养，不能中断，所以你要有好朋友、好老师来帮忙。这是中国教育要特别注意的地方。境界不高远，眼光不长远，不可能做好学问。我希望各位，在新中国大起飞的今天，能将眼光看得更远，做成第一流的学问。（以下由刘克峰教授作题为《丘成桐素描》的介绍）

“奥数”与教育

我在美国看到很多年轻学生，“奥数”念得很好，竞赛也得高分，后来成为很好的数学家。这可能是因为他们学习“奥数”完全凭着兴趣，是业余的，在念完所有学科之后，再去参加“奥数”比赛，成绩好不好对他们并不重要。

可是据我了解，国内的“奥数”不是这样。很多小孩子为了上大学拼命地念，几乎花了全部学习时间。因为，中国名校可以免试召收拿了“奥数”金牌的学生。

所以，全国为“奥数”疯狂（众笑）。疯狂的原因不是对数学有兴趣，而是为了学位，或者为了家长的要求。我想这对小孩子是一种心理的摧残。我希望小孩子能够愉快地成长。

并不是说我们中国的年轻人比不上美国的年轻人，而是我们的教育方向不是根据兴趣来培养，是为家长、为老师、为大学、为了文凭服务。我看很多大学生，到了念大学的时候，就没有在中学时用功。现在考试的负担越来越重，小孩子考完试以后，就不愿意再花时间去学有趣的知识，这是不好的事情。

我从前在香港念的一个中学，曾培养了很多著名的数学家、物理学家，有的还拿了诺贝尔奖。其中，重要原因是我们当时为了兴趣而学习，所有的学生都能通过高考，学生的水平远远超过高考的要求，因此有很多人成为有贡献的专家学者。

所以，无论“奥数”也好，考试也好，一定不能够摧残学生的兴趣。有了兴趣以后，你做什么事都会容易，也一定会成功，没有兴趣你做什么都不会成功。

“奥数”我觉得应当废除，同时我们要尽量想办法去培养我们学生对学问的兴趣。

特别是成为研究生后，做学问就需要更大的兴趣。对“庞加莱猜想”有贡献的好几位几何学家，他们都经历过许多辛苦。事实上这些辛苦他们有时并不觉得，反而越战越勇。就像下棋，如果你喜欢，看到那个棋越难你就越高兴。每一次攻克难题的时候，你的高兴程度就更大，这是很重要的。

很多中国的学生对表面的成绩看得很重很重，就是为了外在的原因：为了考试，为了让父母高兴，为了要得到一个好的学位。

刚才刘克峰讲我小学的时候逃过学，我是逃过学，也得到过很多教训。14岁的时候我父亲去世。这对我有很大的打击和影响，是一件很悲哀、很惨重的事情。就是因为很悲哀、很惨重，我明白了应该怎么去对付最困难的时候，怎么学会在最困难的困境下生存。所以，后来我做学问的时候，遇到困难不怕，遇到其他人无理的攻击我也不怕，这是从困境里学习的一个很重要的事情。

我看到自己的学生，有的很能干，是第一流的学生，遇到困境的时候也不知道如何处理，任其发展继续下去，这可不好。我们不但要你学会在失败的时候怎么生存、怎么继续。从失败里吸取经验的方法，这也是一个做学问成功的人最终要做的。不但要学习成长，也要学到受打击的时候怎么成长。我想大家年轻的时候要懂得这方面的事情。所以多交朋友，多交老师，多接受他们的教训，多看不同的或者是其他学问的创造。吸收不同的学问，晓得不同的经验。所以在灾难来临的时候，你知道怎么应付，这是很重要的事情。

现场问答

本报科技部记者问:丘教授您好，我听到一种说法，就是中国科学家，如果要获得类似诺贝尔奖这样的国际一流奖项，最有可能突破的领域是数学。我想问一下是不是中国数学科研水平和国际先进水平最接近？第二个问题，刚才我在大屏幕上看到您作为数学家写的诗，文字之美、韵律之美我们都能体会，但我觉得数学美常人就体会不到了，您今天在这里是不是能用文学的语言跟我们描述一下数学之美，谢谢！

丘成桐：一般来讲，我们把“菲尔兹奖”看作数学的诺贝尔奖。我同意你的看法，因为数学的投资很少，同时我们有很多年轻有才华的学者。我们的国家、我们的大学要重视培养年轻人，要让他们的思想能够自由发展。就好像我刚才讲，我们做汉密尔顿先生方程的时候，朱熹平在中山大学可以海阔天空自由地发展，做出了一项重要的成果。

至于你讲关于数学美的一个问题，其实这是个很深的问题，我也写了一些通俗的文章，我写的一篇文章叫做《数学和中国文学的比较》，你可以在网上找到。我一直在探讨这个问题，不是三言两语能够讲清楚的。

本报国际部记者问：数学有成千上万个业余爱好者，这是什么原因？很多数学爱好者最痛苦的是研究的东西没有人承认，他们的学术论文数学所不收，打电话不转接，大门也不让他们进。数学家给他们的忠告就是：“他们没有工具，骑着自行车是上不了月亮的。”对此您怎么看？

丘成桐：我很佩服他们的勇气，也很欣赏他们的热情，可是我们晓得数学不是文学，数学是一个求真，真真正正能够找到真相的学问。我做过几个主要杂志的编辑，我坦白跟你讲，很多文章我一眼就能看出它的错，这不是一个业余数学家的错，是一个职业数学家的错。我们不可能花很多时间看一篇文章，一个数学家应该将自己训练成逻辑思维很严谨的数学家，慢慢地一步一步往前走，最终会找到自己错误的地方。

业余数学家好像不大相信有些事情，即便是证明了不可能做得到的事情，譬如讲“三等分一角”，这个思潮曾经在150年前，数学家证明它是不可能做的事。可是，他们还是不停地去做，这是很不幸的事实。我期待业余数学家好好学习逻辑的推理，找出自己的困难的地方。

清华大学学生问：从陈省身先生开始，中国的数学家就在微分几何这个领域一次又一次作出震惊世界的贡献。这是因为中国人在这方面有天才还是有其他的原因？刚才您提到希望我国能够多出几个朱熹平这样的数学家，如果在本土能够成为一流水平的数学家吗？他的成长路径应该是怎样的？

丘成桐：很多年来，在中国微分几何的发展，是因为在陈省身先生带领下发展的。我们很敬仰他，也跟着他学。像印度人在所谓群表做得不错，是因为印度出了一位伟大的群表式理论数学家，叫做哈里斯-山德拉。所以，一个国家在某方面有出色的学者应该是个好事。

至于你讲的第二个问题，中国在20年前，生活条件不高，同时对外的交流也不够。但是，现在中国尤其是北京能够接触的大数学家，比很多美国小地方接触到的还多。现在，网上的交流很方便，你可以在网上看到很多好的文章。所以，并不一定要在权威的地方才能做出第一流的工作。我们的国家应该注意培养年轻的学者和学生，让他们能专心致志地做学问。

我们学校的研究生，从学生进去到毕业，一般需要不到五年的时间，往往他们的毕业论文是世界一流的文章。这在国内做不到，很多原因是年轻的学生受到的指导不很合适。我们太急功近利，很多导师希望写很简单的论文，很快可以交卷。在国外鼓励研究生做第一流的工作。2002年，有一个俄国数学家获得菲尔兹奖，他的那篇文章基本上就是哈佛大学毕业的论文，是在毕业论文基础上补充的。

　　可见，一个年轻人要成才并不怎么困难，时间并不需很长，问题是看你愿不愿意做，国家鼓不鼓励你，这是最重要的。现在在北京，我想不会比一些所谓权威的地方差。所以，我觉得你不必要灰心，只要努力，是可以做成功的。

清华大学学生问：丘教授您好，我曾经在网上看到过您写的数学和文学的比较，感到其中以中国文学行云流水境界来思考数学是特别美好，特别令我向往的，读过之后我也心潮澎湃，对数学的热爱上升到了一个新的高度。而且您刚才讲的时候，谈到做数学要克服困难，需要对它有非常深刻的感情，需要全身心的投入，而且您说许多时候认为它对还是不对，是一种直觉，来自于对大自然的直觉，相信您一定会有很多神秘的感受，比如说天人合一的感受，比如说似乎在不经意间和自然界中某种力量的交融。

在许多科学家的传记中都有过此类的描述，在这期间，我们一些本科学生有的时候也能略微的感受一点，感受其中的美好。但是，有的时候我们又感到有些恐慌，因为毕竟许多神秘的感受都是虚无的，虽然它能够大大地指导我们的方向，大大地提升我们的激情以及对数学的热爱，但是很多时候所谓感受都是与现实脱离的，也就是说与日常生活脱离的，而且历史上很多天才级的数学家都因为这些神秘的感受而困扰，甚至被送入精神病院，所以说在我们培养对数学的感情的同时，同时也要避免这些事情。

请问丘教授，我们需要找到一个什么样的度，什么样的平衡点，才能达到最佳的发展状态？

丘成桐：我来举个例子，你讲得很对，很多天人合一完全虚无缥缈，这是对的。我举个例子来解释“庞加莱猜想”的证明。“庞加莱猜想”证明是由非线式方程来证它，这个方法是所有数学家连想都不敢想的，大概是太困难吧，对他们来讲是一个很神的事情。但是，今天我们为什么能够成功？在做整个微分方程的时候，要做估值，刚才我讲了汉密尔顿跟我谈了很久，用我和李伟光的计算来做这个问题。这个问题做了很久，我们的感觉是直接从计算中来的。所以，一点都不觉得神秘。就像刘克峰打乒乓球那样，想都不想，直接去击球，而且把球打得很准。这种直觉是靠平时不停地练习、不停地讨论反映出来的，它不是神秘，是训练出来的。

大学生很容易讲哲学，讲一些虚无缥缈的事情。因为，你没有花很多时间去训练自己，把自己训练得透透彻彻，问题就自然地反映出来了。所以，一个好的数学家要不停地训练自己才可能成才，不是空谈。

你是个有相当水平的学生，你要训练自己，肯花时间去训练，努力成为一个数学家。

本报总编室编辑问:今年高考刚刚结束，您对考上大学的学生有什么建议？对没考上的学生又有哪些忠告？

丘成桐:对考上的学生来说，是个鼓励，但不能因此而骄傲。因为事情才刚刚开始，学问还没有真正成功。没有考上的学生，绝对不要灰心，因为事实上很多成功学者往往考试并不成功，比如我自己政治课也考得不好，可是我并不灰心。（全场长时间热烈鼓掌）