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数学内蕴于事物

面对一群羊,我们似乎有两个理解并把握这群羊的方式:
1,给每只羊起一个名字,并因为某个个性特征而永远不会把名字给搞混淆了,那么我们晚上把羊赶回羊圈时,可以站在门口,一只一只地把回来的羊与记忆当中的那些具有个性特征的羊对上号,最后,我们可以知道,是不是丢失了羊;
2,数数,记住这群羊一共有多少只,然后在羊圈里面,再点一次数,就知道是不是丢失了羊。
第一种方式,似乎不涉及到数量概念,因此假设你不会数大于10的数字也没关系,前提是你的单纯信息的记忆力极强。当然,你可以造一个花名册,进去一只,勾掉一只。但回忆你在花名册里面搜寻名字的过程,其实就是在进行“下一个”的操作。因此依靠花名册,本质还是需要你从事数数的操作。进一步,依靠记忆,难道又不是内蕴了数数的操作吗?设想一下你站在婚庆宴会厅的门口,要判断自己邀请的1千个熟人是不是都进去了,不依靠花名册而完全依靠记忆的话,难道不是反复在大脑里面进行“下一个”的操作吗?张三来了,李四来了,...,下一个,还有谁没来?

所以这说明了两个结论:
数量是内蕴于事物的属性,数量概念的明确说明我们对于事物有了切实的理解。
这两个结论推广到最一般的情形,仍然是正确的:
数学是内蕴于事物的属性,数学概念的明确说明我们对于事物有了切实的理解。

继续举例。
对于一个非常基本的物理系统,它的状态,我们希望用一个物理量来描述。然后我们看到它的状态的变化,在一种基本性的含义上,我们希望那种变化被理解为不同状态的叠加,所产生出来的新的状态。然后我们进一步观察到:
一个状态量如果乘以一个复数,得到的仍然是属于该物理量的不同取值;
两个不同的状态叠加起来得到一个新的状态;
每一个状态都可以由一些状态叠加起来。
最后,我们意识到,这样一个物理量一般得需要一个以上的数值来确定大小。例如这样表示:(a,b)或者(a,b,c)或者更多。
至此,我们知道了这样一个物理量属于一个线性空间的向量。关于线性空间,基于上述的基本要求,基本上就可以建立一个很清晰的数学结构,同时,如果我们发现这样一个线性向量概念是可以充分描述该物理量的话,我们不得不说,线性空间的数学结构是内蕴于自然事物的。
这就是量子力学的数学,或者说,这就是内蕴于量子世界的数学。

这里面最有意思的事情是:我们在数学的层面上把握一个自然对象了,是一个意味;我们在物理概念的层面上理解一个自然对象了,是另一个意味。这两种意味之间具有极其微妙的关系。
回到前面那个最简单的例子,我们可以大体了解到这个关系:
数学是我们进入自然的方式,科学概念是我们观看自然的方式。

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