文章与日志

面对一群羊，我们似乎有两个理解并把握这群羊的方式：
１，给每只羊起一个名字，并因为某个个性特征而永远不会把名字给搞混淆了，那么我们晚上把羊赶回羊圈时，可以站在门口，一只一只地把回来的羊与记忆当中的那些具有个性特征的羊对上号，最后，我们可以知道，是不是丢失了羊；
２，数数，记住这群羊一共有多少只，然后在羊圈里面，再点一次数，就知道是不是丢失了羊。
第一种方式，似乎不涉及到数量概念，因此假设你不会数大于１０的数字也没关系，前提是你的单纯信息的记忆力极强。当然，你可以造一个花名册，进去一只，勾掉一只。但回忆你在花名册里面搜寻名字的过程，其实就是在进行“下一个”的操作。因此依靠花名册，本质还是需要你从事数数的操作。进一步，依靠记忆，难道又不是内蕴了数数的操作吗？设想一下你站在婚庆宴会厅的门口，要判断自己邀请的１千个熟人是不是都进去了，不依靠花名册而完全依靠记忆的话，难道不是反复在大脑里面进行“下一个”的操作吗？张三来了，李四来了，．．．，下一个，还有谁没来？

所以这说明了两个结论：
数量是内蕴于事物的属性，数量概念的明确说明我们对于事物有了切实的理解。
这两个结论推广到最一般的情形，仍然是正确的：
数学是内蕴于事物的属性，数学概念的明确说明我们对于事物有了切实的理解。

继续举例。
对于一个非常基本的物理系统，它的状态，我们希望用一个物理量来描述。然后我们看到它的状态的变化，在一种基本性的含义上，我们希望那种变化被理解为不同状态的叠加，所产生出来的新的状态。然后我们进一步观察到：
一个状态量如果乘以一个复数，得到的仍然是属于该物理量的不同取值；
两个不同的状态叠加起来得到一个新的状态；
每一个状态都可以由一些状态叠加起来。
最后，我们意识到，这样一个物理量一般得需要一个以上的数值来确定大小。例如这样表示：（ａ，ｂ）或者（ａ，ｂ，ｃ）或者更多。
至此，我们知道了这样一个物理量属于一个线性空间的向量。关于线性空间，基于上述的基本要求，基本上就可以建立一个很清晰的数学结构，同时，如果我们发现这样一个线性向量概念是可以充分描述该物理量的话，我们不得不说，线性空间的数学结构是内蕴于自然事物的。
这就是量子力学的数学，或者说，这就是内蕴于量子世界的数学。

这里面最有意思的事情是：我们在数学的层面上把握一个自然对象了，是一个意味；我们在物理概念的层面上理解一个自然对象了，是另一个意味。这两种意味之间具有极其微妙的关系。
回到前面那个最简单的例子，我们可以大体了解到这个关系：
数学是我们进入自然的方式，科学概念是我们观看自然的方式。