前言

逻辑的观念，在人类认知历史很早期就开始有自觉的，这种自觉有力地辅助了人类思维能力的进步。到二十世纪初数理逻辑构成数学基础的一个部门来讨论的时候，逐渐澄清了一个部分的人类认知任务的机械属性，从而导致20世纪最伟大的工具-计算机的发明。
我这里试图以一个认知结构发育的角度，来重新讲述数理逻辑的故事，作为前面讨论人类进化遗产的一个章节。

怎么说话？不是一个小问题，而是一个大问题。

1.1首先看，我们说的话，一般包括哪些话。

儿童说话，起先是自己感觉和意图的表述，例如：

我饿了
我要喝水

面对一群羊，我们似乎有两个理解并把握这群羊的方式：
１，给每只羊起一个名字，并因为某个个性特征而永远不会把名字给搞混淆了，那么我们晚上把羊赶回羊圈时，可以站在门口，一只一只地把回来的羊与记忆当中的那些具有个性特征的羊对上号，最后，我们可以知道，是不是丢失了羊；
２，数数，记住这群羊一共有多少只，然后在羊圈里面，再点一次数，就知道是不是丢失了羊。

经典世界指:经典物理学与相关数学范畴,基于经典物理学的化学,地理地质,生物学等.
这个经典世界的基础就是经典物理学加相关数学范畴.
所以讨论的出发点,就是这个经典世界与我们的日常世界是如何对应的.
这个论点首先会遭遇的反驳是:典型如亚里士多德的物理理论不也是与日常世界紧密对应着的吗?
我的观点是:现在的经典世界是我们的日常世界的一个对应结果,但并非历史上的唯一结果.
我关心的不是如何由日常世界"推导"出经典世界,而是日常世界如何"决定"经典世界,因为我要得到的最终结论是:科学是人类的一种普适行为,与文化无关.

函数概念要求数的集合的完备定义

1.1

确立函数与计算的具体概念之后，就要求进一步确立对于函数变量取值或计算结果具有完备的描述能力的数的集合。

后继的运算->自然数集合的公理化定义

四则运算->有理数集合的运算定义

至此所有的运算，都包含阿基米德度量性质：任何一个确定的数，使用任何一个单位e去度量它，总是可以在经过n次度量之后，得到的n*e大于该数。

因此可以把这个性质用作刻画我们所需要的数集合的一个公理：阿基米德公理。

然后使用这个公理来刻画存在于我们的直观里面的顺序的观念：在数集合的元素之间建立顺序关系，即对于任意两个不同的元素a和b，必定有，或者a大于b，或者a小于b。因为总是可以用a来度量b，或者用b来度量a。

把一种功能上的操作通过一个明确的构造来体现，是集合论用于数学基础的目的之一。

构造非标准分析需要在一个集合的幂集里面构造滤子：
设I为一个非空集，P(I)为I的幂集，然后可以如此构造幂集的子集F而构成所谓滤子：

1. 对于F的任意一个元素A，则在P(I)中任意包含A的集合B，令其也`\in F`。
2. 对于F的任意两个元素，令其交集也`\in F`。
3. 空集不能属于F，但`I\in F`。

what is mathematics?

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the first event: 1, 2, 3,...

then, we know that counting means +1

the first principle: no more, nor less.
addition, subtraction, multiplication, division

subtraction lead to 0 and negatives

division lead to fraction

the closeness of operation=>the set of number: natural number, integral number, rational number.

infinity.

【complete induction】

how to denote number? base and power

how to solve algebraic equation?

the complete of order=>real number set

the second principle: completeness
any two elements of set R, a>b, or b>a,