文章与日志

Basic Notions of Manifold

When we mention Euclid space, maybe it induct excess meanings. So,
we can try to construct an object that its meaning is less than
Euclid space but however, is meaningful and analyzable.

At least, we need some points, then, if we want a point is
analyzable, it must has its neighborhood, moreover, to make it
computable or realizable, let its neighborhood homeomorphism with
an open set of Euclid space.

Such points constitutes a set, then make this set is a separated
set, a Hausdorff set, we definite such a set a manifold.

The point `x\in M`, M is a manifold. U is a neighborhood of x, and
there is a homeomorphism `\phi:U\mapsto \phi(U)`. then, Any such a
$(U,\phi(U))$ means a realization of any point of U: $\phi(y)$ is

只是在实数上出现的分析问题，就有可能困难得要求把它置于更一般的基底，才有可能找到解答。
首先有下面两个准备好的东西：

1.拓扑结构
一个满足[[第二可数公理]]的[[Hausdorff空间]]M
2.把实数域扩充为欧式空间R
以集合的手段做成一个实数组[tex]\{x_1,x_2,...x_n\}[/tex],以这样一个数组做成一个元素的样式，再在这样的元素之间定义加法和实数对它的乘法，就架起了一个矢量空间。

Hilbert对Euclid几何作了最好的整理。下面是这个整理结果的一个简述。

古典的几何，考虑的是三种原始几何元素：点，直线，平面。
这些元素之间可以建立三种关系：关联，介于，合同。
然后五组公理表达了所有可能的关系；

1. 关联公理
2. 顺序公理
3. 合同公理
4. 平行公理
5. 连续公理

就（点，直线，平面）这三类元素两两之间所有可能的关联，或者说所有可能的从属关系而言，由关联公理来描述：
（点，直线）
（点，平面）
（直线，平面）

由关联公理描述完备点，线，面之间的从属关系之后，对于直线上的点，和平面上的直线与点，即可以来描述其介于关系，这个描述就是顺序公理。