文章与日志

一个例子:

[tex]$n [tex]$1+\frac{1}{n+1}<1+\frac{1}{n};$[/tex]
[tex]$(1+\frac{1}{n})^{n}<(1+\frac{1}{n+1})^{n+1};$[/tex]
[tex]$(1+\frac{1}{n})^{n}<3;$[/tex]
问题: 在有理数的集合里面,当[tex]n$\rightarrow\infty,$[/tex]那么[tex]$(1+\frac{1}{n})^{n}$[/tex]意味着什么?

设[tex]$x_{n}=(1+\frac{1}{n})^{n}$[/tex], 并假设[tex]$x_{\infty}=\frac{p}{q}$[/tex],
那么我们可以说[tex]$x_{1}

但是, [tex]$x_{\infty}\neq\frac{p}{q}$[/tex]

[tex]$$x_{n}=1^{n}+...+\frac{1}{n^{n}}[/tex]
[tex]=1+1+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n}...$$[/tex]

函数概念要求数的集合的完备定义

1.1

确立函数与计算的具体概念之后，就要求进一步确立对于函数变量取值或计算结果具有完备的描述能力的数的集合。

后继的运算->自然数集合的公理化定义

四则运算->有理数集合的运算定义

至此所有的运算，都包含阿基米德度量性质：任何一个确定的数，使用任何一个单位e去度量它，总是可以在经过n次度量之后，得到的n*e大于该数。

因此可以把这个性质用作刻画我们所需要的数集合的一个公理：阿基米德公理。

然后使用这个公理来刻画存在于我们的直观里面的顺序的观念：在数集合的元素之间建立顺序关系，即对于任意两个不同的元素a和b，必定有，或者a大于b，或者a小于b。因为总是可以用a来度量b，或者用b来度量a。

Euler和Lambert猜测$pi$是超越数；
Hermite: 对于任意非0有理数r,$e^r$是超越数；
Lindemann:对于任意无理代数数r,$e^r$是无理数+$( e^(\pi i) =-1)=>\pi$为超越数。

证明思路：取z的多项式p(z)的两个根`z_0,z_i`,有如下积分式：

`int_(z_0)^z(e^(-z) p(z)^m)/(z-z_i)dz`

当p的系数为整数，甚至高斯整数时，这类积分满足一些代数关系（？）
`=>`如果`z_1,...z_n`为系数为高斯整数的不可约多项式之两两不同的根，则$\sum_(i=1)^n(e^(z_i))$为无理数。
`=>e^(z_i)`是无理数。

证明：如果`e^(z_i)`是有理数，则`sum_(j=0)^n s_j z^j`有有理解`e^(z_i)`,并且`sum_(j=0)^n (e^(z_i))^j s_j=0`,其中`s_j`为`e^(z_i)`的对称函数。

这本书最初大概是在1998年有过部分稿，后来在1999~2000年再次出版。
同样的，尽管是局限于教参的构架，但尽量做到了数学思想的挖掘，以便起到高等分析数学登堂入室之用。
重新改写的话，同样可以在一个更为综合的观点或者说基础上，开展入门的分析。

微积分入门： http://krsna.lamost.org/popular/calculus_basic.htm

何谓无限小，何谓无限大，是个问题。
经典分析的回答是实用主义的，有人不满意，这才有了所谓非标准分析的答案。

ref: Pierre Cartier, perturbations singulieres des equations differentielles ordinaires et analyse non-standard, Seminaire Bourbaki, 34e annee, 1981/82, No.580

无限是数学里面第一个锻炼人的形式抽象能力的概念,最近美国几位大学数学教师做了一个有意思的心理调查(Notices of AMS, August 2004),以了解对无限的不同理解.

他们给出如下几个具体的包含了一般所谓无限概念的问题:

1.古老的乌龟和健将Achilles赛跑的故事:如果乌龟的起跑点在Achilles的起跑点前面1米,那么Achilles不管能够跑多快都永远赶不上乌龟,因为当Achilles赶到乌龟起跑点时,乌龟肯定已经爬到该点前面一段距离的位置,等Achilles再赶到该位置时,乌龟在这段时间内还是向前爬了一段距离,如此反复下去,乌龟将永远在Achilles前面.
2.为什么一个变量的微分dx既可以被看成是一个大于0的数而对它进行计算，又常常可以当成0一样被忽略？