文章与日志

运用抽象获得解决方案，并且运用计算得到实现。

单纯说解决方案是不够的，什么问题的解决方案？
问题来自任何领域，前提是，必须是一个明确的问题，然后，还得是可计算的问题。

所谓明确的问题，是指对对象的抽象必须成熟到可以施以行为的程度。
所谓可计算的问题，只是从实现的角度予以约束，而不是指更狭隘的可计算性。

【例1】
函数
函数就是对因果律的抽象，因此数学致力于对函数以及方程的研究，以达致定量求解的程度。

对自然语言进行抽象的目的，是为了获得形式系统。
所谓形式系统，就是完全离开我们平常使用语言时，所谈论的事物本身，而专注于我们使用语言形式进行推理时，所遂行的逻辑演算。把这个演算系统用另外的符号表述出来，就构成一个所谓的形式系统。
这里的关键，就是要抛弃语言之所指，而只关注语言形式本身，为了方便达成此一目的，我们不得不使用另外规定的符号，来替代自然语言中所使用的那些逻辑词汇：

苏联几乎以一国之力,对抗整个欧美,持续了将近1个世纪,其中最大的底气之一,是他的基础科学之强盛,并进而决定了他具有独立研究先进技术的能力. 所以考察这样一个在托尔斯泰和陀思妥耶夫斯基笔下极端穷困的国家,何以能够发展出强盛的基础科学,是非常重要的.这里面,很好的一个样本,是莫斯科数学学派的发展历史.

面对一群羊，我们似乎有两个理解并把握这群羊的方式：
１，给每只羊起一个名字，并因为某个个性特征而永远不会把名字给搞混淆了，那么我们晚上把羊赶回羊圈时，可以站在门口，一只一只地把回来的羊与记忆当中的那些具有个性特征的羊对上号，最后，我们可以知道，是不是丢失了羊；
２，数数，记住这群羊一共有多少只，然后在羊圈里面，再点一次数，就知道是不是丢失了羊。

Basic Notions of Manifold

When we mention Euclid space, maybe it induct excess meanings. So,
we can try to construct an object that its meaning is less than
Euclid space but however, is meaningful and analyzable.

At least, we need some points, then, if we want a point is
analyzable, it must has its neighborhood, moreover, to make it
computable or realizable, let its neighborhood homeomorphism with
an open set of Euclid space.

Such points constitutes a set, then make this set is a separated
set, a Hausdorff set, we definite such a set a manifold.

The point `x\in M`, M is a manifold. U is a neighborhood of x, and
there is a homeomorphism `\phi:U\mapsto \phi(U)`. then, Any such a
$(U,\phi(U))$ means a realization of any point of U: $\phi(y)$ is

最基本的代数观念-模,源于我们数数的方法.

一个最原始，或者说最自然的标记方法: 自然映射，可以叙述为
[t]a\equiv b(mod c)[/t]
也可以叙述为:
[tex]modc:a\mapsto b[/tex]
基于这个映射做如下运算是不变的:
如果[tex]$modc:x\mapsto b; modc: y\mapsto d;$[/tex]
那么[tex]$mod c: x\pm y\mapsto b\pm d;$[/tex]
[tex]$modc: xy\mapsto bd.$[/tex]

=>任何多项式在此映射下是不变的.

模的观念=>素数.

Fermat Theorem:[t]$a^{p-1}-1\equiv0(mod p)$[/t]

Euler Theorem:[tex]$a^{k}-1\equiv0(mod b)$[/tex]

所以有人说，上帝创造了自然数，然后其他一切都是人为的：）