数学

顺序的完备性要求构造实数

一个例子:

[tex]$n [tex]$1+\frac{1}{n+1}<1+\frac{1}{n};$[/tex]
[tex]$(1+\frac{1}{n})^{n}<(1+\frac{1}{n+1})^{n+1};$[/tex]
[tex]$(1+\frac{1}{n})^{n}<3;$[/tex]
问题: 在有理数的集合里面,当[tex]n$\rightarrow\infty,$[/tex]那么[tex]$(1+\frac{1}{n})^{n}$[/tex]意味着什么?

设[tex]$x_{n}=(1+\frac{1}{n})^{n}$[/tex], 并假设[tex]$x_{\infty}=\frac{p}{q}$[/tex],
那么我们可以说[tex]$x_{1}

但是, [tex]$x_{\infty}\neq\frac{p}{q}$[/tex]

[tex]$$x_{n}=1^{n}+...+\frac{1}{n^{n}}[/tex]
[tex]=1+1+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n}...$$[/tex]

函数概念要求数的集合的完备定义

函数概念要求数的集合的完备定义

1.1

确立函数与计算的具体概念之后,就要求进一步确立对于函数变量取值或计算结果具有完备的描述能力的数的集合。

后继的运算->自然数集合的公理化定义

四则运算->有理数集合的运算定义

至此所有的运算,都包含阿基米德度量性质:任何一个确定的数,使用任何一个单位e去度量它,总是可以在经过n次度量之后,得到的n*e大于该数。

因此可以把这个性质用作刻画我们所需要的数集合的一个公理:阿基米德公理。

然后使用这个公理来刻画存在于我们的直观里面的顺序的观念:在数集合的元素之间建立顺序关系,即对于任意两个不同的元素a和b,必定有,或者a大于b,或者a小于b。因为总是可以用a来度量b,或者用b来度量a。

拓扑结构与微分结构-Milnor's Spheres

只是在实数上出现的分析问题,就有可能困难得要求把它置于更一般的基底,才有可能找到解答。
首先有下面两个准备好的东西:

1.拓扑结构
一个满足[[第二可数公理]]的[[Hausdorff空间]]M
2.把实数域扩充为欧式空间R
以集合的手段做成一个实数组[tex]\{x_1,x_2,...x_n\}[/tex],以这样一个数组做成一个元素的样式,再在这样的元素之间定义加法和实数对它的乘法,就架起了一个矢量空间。

随机过程这样一种看法

随机过程首先是观看集体现象的一种方法。
所谓集体现象,是任何个体因数量上的积聚而产生的现象。
第一步,是考虑到这样一种单纯的数量积聚,就能够导致新的内涵产生,或者说新的信息标度的出现。
第二步,是个体的内涵可以具有本质不同的两种类型:力学粒子类型和自由类型。
力学粒子类型的个体本质上是具有可明确表述的因果律的,例如对于系统的每一个布朗运动运动粒子,在每一个时刻无疑都是可以用一个确定的运动方程予以表述的。
自由类型的个体,则本质上是在时间上不可测的,例如量子客体,例如人的行为。

域的扩张

纯粹从集合关系来描述而非构造如下概念,即在进行集合运算的同时保持域结构,以得到:
域->中间域->子域->由子域并一个集合而生成一个扩域
|>
子域到域的扩张,更进一步可以看作是基于域构造向量空间的关系,这样一来,域的扩张过程,就不再只是纯粹集合描述,还可以运用向量空间的特征来加以刻画,例如扩域过程中空间维数的关系:
|>设$F_1 sube F_2 sube ... sube F_n$为一串域的扩张过程,则`F_n`在`F_1`上的维数$[F_n:F_1]=[F_n:F_(n-1)]\times...\times[F_2:F_1]$.

扩域的过程反过来,就得到素域的概念,即不会是任何域的扩域的域。对于素域存在一个自然的结构刻画:

滤子-通过构造来表达功能的例子

把一种功能上的操作通过一个明确的构造来体现,是集合论用于数学基础的目的之一。

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构造非标准分析需要在一个集合的幂集里面构造滤子:
设I为一个非空集,P(I)为I的幂集,然后可以如此构造幂集的子集F而构成所谓滤子:

  • 对于F的任意一个元素A,则在P(I)中任意包含A的集合B,令其也`\in F`。
  • 对于F的任意两个元素,令其交集也`\in F`。
  • 空集不能属于F,但`I\in F`。
构造好一个集合I的滤子F之后,总是可以在I上构造一个极大滤子Z,或者称为超滤子,使得`F sube Z`。 这个由滤子到极大滤子的断言实际上就是选择公理的弱形式,在一些情形下,可以起到代替选择公理的作用。

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