文章与日志

Hilbert对Euclid几何作了最好的整理。下面是这个整理结果的一个简述。

古典的几何，考虑的是三种原始几何元素：点，直线，平面。
这些元素之间可以建立三种关系：关联，介于，合同。
然后五组公理表达了所有可能的关系；

1. 关联公理
2. 顺序公理
3. 合同公理
4. 平行公理
5. 连续公理

就（点，直线，平面）这三类元素两两之间所有可能的关联，或者说所有可能的从属关系而言，由关联公理来描述：
（点，直线）
（点，平面）
（直线，平面）

由关联公理描述完备点，线，面之间的从属关系之后，对于直线上的点，和平面上的直线与点，即可以来描述其介于关系，这个描述就是顺序公理。

因果律的观念是如何起源的呢？
对于因果律的一个简洁的描述就是函数。

在认知起源的角度上看，非常狭隘的经验即足以发生因果律：首先是对事件之间关联的认知，甚至是动物的基本功能，也是动物行为的一个构成要素。
不过事件之间的直接关联，还只是自然地建筑在时间的序列当中，进一步获得因果的概念，则是人的成就。
因果概念的出现，应该标志着一种非常根本的逻辑能力的出现。

Euler和Lambert猜测$pi$是超越数；
Hermite: 对于任意非0有理数r,$e^r$是超越数；
Lindemann:对于任意无理代数数r,$e^r$是无理数+$( e^(\pi i) =-1)=>\pi$为超越数。

证明思路：取z的多项式p(z)的两个根`z_0,z_i`,有如下积分式：

`int_(z_0)^z(e^(-z) p(z)^m)/(z-z_i)dz`

当p的系数为整数，甚至高斯整数时，这类积分满足一些代数关系（？）
`=>`如果`z_1,...z_n`为系数为高斯整数的不可约多项式之两两不同的根，则$\sum_(i=1)^n(e^(z_i))$为无理数。
`=>e^(z_i)`是无理数。

证明：如果`e^(z_i)`是有理数，则`sum_(j=0)^n s_j z^j`有有理解`e^(z_i)`,并且`sum_(j=0)^n (e^(z_i))^j s_j=0`,其中`s_j`为`e^(z_i)`的对称函数。

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半群：一个非空集合上的二元运算满足结合律。

幺半群：集合内存在该运算的单位元。

环本身就是一个乘法半群，反之一个含加法单位元的乘法半群却不必然通过引入加法而成为环。

半群的一个基本概念是正则性，即其任一元素皆存在其运算逆元。

半群的逆元比群的逆元要弱。

正则半群上：逆元总是唯一的`\iff`幂等元两两可换。

具有如此性质之正则半群称为逆半群。

由于集合上的自映射在合成运算上是结合的，如果映射非双射，则构成半群。

`\Omega`-代数第一同构定理

常见的直观定义是，对于有限的系统，在一个有限时间内，相空间被完全且均匀地访问到；对于无限的系统，即所谓热力学极限下，相空间是趋向被遍历的。
例如，样本数量是一个有限数值n，一个真实随机变量每一个取值的几率是1/n。
问题是，1）这是在刻画自然随机变量的实质，2）还是只是力图在表象上描述某一种自然随机变量？
如果答案是1），那接下来的问题是，实际应用的机器随机数本质上总是确定性产生的，还具有一个有限大小的周期，因此只能期望数值模拟只是在一个近似性的意义上进行，这样的模拟需要进行相应的误差控制才是有一定意义的。
但是否有可能答案是2）呢？
也就是说，让我们追问一下，自然随机性到底具有何涵义？

这本书最初大概是在1998年有过部分稿，后来在1999~2000年再次出版。
同样的，尽管是局限于教参的构架，但尽量做到了数学思想的挖掘，以便起到高等分析数学登堂入室之用。
重新改写的话，同样可以在一个更为综合的观点或者说基础上，开展入门的分析。

微积分入门： http://krsna.lamost.org/popular/calculus_basic.htm