文章与日志

源于Hilbert第5问题(针对一些函数方程的可微性条件是否可以弱化的问题)的一个一般形式：
拓扑群如果局部欧氏，就是李群。（Montgomery, Zippin, 1952）
即如果把解析结构减弱为拓扑结构，只要局部欧氏，则仍其为李群。
这个问题可以采取同伦的看法。
所谓作用在两个拓扑空间之间的两个连续映射同伦，是指这两个映射如果从同一点出发，所分别得到的像在其所处空间是可道路连通的，并且该道路可作为原像点的函数而连续。
在同伦的看法下，对于李群的群结构可以使用这样一个角度：H-空间。
所谓H-空间，即在其上定义了一个配对运算和一个该配对运算下的同伦单位元的拓扑空间，然后对该单位元作左右的配对运算所得之映射皆同伦于该空间上之单位映射

首先群是一个基本的乘法结构，然后解析流形是良好的做分析的背景，两者组合在一起，也就是说令群的乘法是解析映射，决定了李群是非常重要的对象。
李群是可完全分类的群：
对李群的完全分类是通过绕行到其作为一个流形的切空间上进行的，即李代数。
一个李群的李代数由其所有群上左不变向量场构成。这个提升的好处是，如果两个李群同构，则其各自的李代数也同构；反过来如果两个李代数同构，则各自的李群局部同构，如果我们限定于单连通李群，则局部同构可扩充为同构。因此单连通时李群与李代数可以一一对应。
然后的问题就是李代数的完全分类，由Cartan-Killing完成。

要理解数值计算的误差传播然后试图加以控制，第一个问题，就是该传播过程可以认为是随机的吗？
1962年Peter Henrici提出一个计算误差传播的概率模型，用随机变量来刻画数值计算过程中每一步的基本误差，以此试图预计计算解相对于真实解的分布。但1987年Fransoise Chatelin证明，除非事先知道精确数值解，不可能由此预测误差形态。
因此，我们只能说计算机的数值计算过程当中，误差的传播不是随机的，实际上，步骤之间的误差是强相关的，正是这种强相关导致随机的假象。
由此种相关性可以获得一种计算误差的控制方式。

古典代数几何：
考虑代数簇(有限个代数方程组，系数在代数闭域上)的几何学
抽象代数几何：
复解析几何：

何谓无限小，何谓无限大，是个问题。
经典分析的回答是实用主义的，有人不满意，这才有了所谓非标准分析的答案。

ref: Pierre Cartier, perturbations singulieres des equations differentielles ordinaires et analyse non-standard, Seminaire Bourbaki, 34e annee, 1981/82, No.580

它只琢磨我们表达清楚了的东西。
因此，数学逻辑很适合用来教会机器以模拟人的行为，而很难用来指望它主导人本身的抽象行为。
但，恰好在何谓清楚的意义指证上，思考数学基础的数学逻辑，试图扮演意义终结者的角色。