文章与日志

计数大概是人的一个基本功能，运用计数的方法来分析，则是数学的一个基本技术。
一般地计数，首先遇到的问题就是有限与无限。有限的计数，通向专门的组合技术，而无限的计数，则构成分析的基础。

何谓分类？
已经找到2维流形的清晰分类：
任何一个闭2维曲面，都可以由3种基本曲面通过离散群作用求商集得到。
这三基本曲面是2维球面，欧氏平面，双曲盘面。
所以分类落实在曲面之间的拓扑变换关系。

那么3维情形呢？

Poincaré还是从球面入手
有理由认为球面具有非常尊贵的几何地位，Poincaré提出如下猜想：
如果一个3维闭流形与3维球面同调，那么它必定与之同胚。
不久他找到一个反例SO(3)/I_60，于是再问：
如果一个3维闭流形具有平凡基本群，那么它是否一定与3维球面同胚？

一个令我想与之同行的人，一个令我念及而顿生豪迈与深澈的人，格洛腾迪克（Grothendieck）。
我试图掌握他的数学，但他的人生在背后隐现。
“任何一种科学，如果我们不是把它理解为一种表达力量和控制能力的工具，而只是当作我们人类世代所推进的知识探险，那她不是别的，就只是那个可以名之为和谐的东西。从一个时代到另一个时代，这个和谐或广或窄，或丰或乏，历经一代又一代，一个世纪又一个世纪，依次所显现出来的对于各个主题的精妙映照，仿佛就是琢空而现。”
--译自收割与播种(Reapings and Sowings)（"And every science, when we understand it not as an instrument of power and domination but as an adventure in knowledge pursued by our species across the ages, is nothing but this harmony, more or less vast, more or less rich from one epoch to another, which unfurls over the course of generations and centuries, by the delicate counterpoint of all the themes appearing in turn, as if summoned from the void."）

what is mathematics?

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the first event: 1, 2, 3,...

then, we know that counting means +1

the first principle: no more, nor less.
addition, subtraction, multiplication, division

subtraction lead to 0 and negatives

division lead to fraction

the closeness of operation=>the set of number: natural number, integral number, rational number.

infinity.

【complete induction】

how to denote number? base and power

how to solve algebraic equation?

the complete of order=>real number set

the second principle: completeness
any two elements of set R, a>b, or b>a,