第五章.一元函数积分法及其应用
原函数和不定积分。不定积分的性质。
前面我们主要是讨论导函数的概念，即对于一个连续函数，求出它的导函数，就意味着描述了这个连续函数在每一点的变化率随着自变量而变化的规律。反过来，这个规律是不是只是描述了一个特定函数的变化率呢？根据变化率的定义，显然所有与原来的函数在Y轴方向上平行的函数都具有相同的变化率变化规律，这实际上就意味着，一个导函数同时描述了一束沿着Y轴方向相互平行的函数的变化率的变化规律。这一束函数的解析式相差一个常数。我们也可以这么说，即相差任意一个常数的函数具有相同的导函数。
这样我们就得到了一个对应关系，即对于在区间I上连续的一束函数F（x）+c（c为任意常数），对应着一个唯一的函数f（x），满足
，或
。
换一种观念，上面的过程也可以看成是一种对于函数F（x）的运算，即微分的运算，得到函数F（x）+c的微分，那么反过来，也存在一个作用于函数f（x）的逆运算过程，得到函数F（x）+c本身，这种逆运算就是积分，或者说不定积分，写成
。
这里，相对地，我们就把被积函数f（x）称为原函数F（x）+c的导函数，而把原函数F（x）+c称为被积函数f（x）的不定积分。
因此我们可以把不定积分理解为微分的逆运算，只不过是一种一对多的关系，即一个被积函数对应于无穷多个相差为任意常数的原函数。
在这种意义之下，我们就可以很容易地理解下面的表达式：
；
；
。
希望同学们多加体会这些表面看来很绕的表达式，深切体会不定积分的逆运算含义。
这里特别需要注意的是在这两种互为逆运算的运算作用之下，函数性态的变化，下面是几点注意事项：
（1） 由于我们主要是讨论初等函数，而初等函数在其定义域上总是连续的，这里特别需要记住的是，连续不是可导或可微的充分条件，而只是必要条件，可导的条件更强，即还要求函数在定义域上每一点处的左右导数都存在，并且相等。因此对于分段函数，在分段点处就必须检验这个条件，对于某些特殊的函数，在某些特定的点，也会出现左右导数或者缺失，或者不相等的情况，这些都需要仔细加以验证。
（2） 进一步，可导与可微仍然还存在一个差别，即函数在某点可导，导数可以是无穷，这种情况下，就不是可微的，即函数在一点及其邻域可微的充要条件是函数在这点存在有限的导数。
（3） 另外一个连续函数的导函数未必是连续的，而对非连续函数作积分运算则是比较复杂的，本课程不作系统讨论。
基本积分公式和基本积分法则。
由于不定积分实际上就是微分运算的逆运算，因此把基本微分公式反过来写，就得到了相应的基本积分公式，我们列出如下：
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（1） |
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（2） |
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（3） |
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（4） |
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（5） |
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（6） |
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+C而类似地，从微分的运算性质，可以得到相应的积分的运算性质，其中最为简单的就是积分运算的线性性质：
，
实际上对于任意有限个可积函数的线性组合，这个积分运算性质都是成立的。
其他对应的而又比较复杂的积分法则在下面分节再讨论。
换元法。
相应于求导法则当中的链导法，积分法就是所谓换元法。
我们知道，求导法当中的链导法的核心思想就是变量替换，同样，换元法的核心思想也是变量替换。实际上，我们应该已经能够体会到，变量替换在函数的分析当中，本来就具有相当基本的重要性，而在积分运算当中，我们会看到同样具有基本的重要性。
我们在进行函数的复合时，已经可以体会到变量替换具有两种方式，或者说两个方向，一是减少复合的层次，二是增加复合的层次。
所谓换元法，也就具有相应的两种途径，一是把被积函数的自变量看成新引入的一个函数的自变量，而这个新引入函数的因变量则可以凑成原来被积函数的自变量，这样被积函数实际上就减少了复合的层次，而变得比原来的形式要简单；
二是把被积函数的自变量看成一个新引入变量的函数，在被积函数当中代入这个函数，这样就改变了被积函数的自变量，并且使得被积函数增加了复合层次，表面看来是增加了被积函数的复杂性，但我们的目的是使得被积函数比较容易进行积分。
形式地说，就是假设被积函数为f（x），它的不定积分
无法直接应用已知的积分公式来求出，那么我们可以尝试进行积分变量的替换，使得通过变量替换而得到一个更容易进行积分运算的积分式
，其中变量u和变量x的关系可以是两种形式，即
和
，前面的形式是在被积函数中凑出新的函数来，后面的形式则是引入额外的新函数。
这两个途径就分别称为换元法一和换元法二，下面我们更仔细地分别进行讨论。
（1）换元法一。
设我们是取，那么就有
=[
，
代入就有
=
，
上面等式右边出现了u的微分，我们有
，
代入，我们的最终目的就出现了，即要求
=
，
也就是要求通过适当地取，使得
。
反过来，我们可以这么说，即把被积函数f（x）凑成上面的形式，从而通过计算比较容易的而得到比较困难的。
可以看出，这里的关键，就是把原来的被积函数凑出两个因式来，其中一个是某个新函数的导函数，而另一个因式则可以看成是以这个新函数为自变量的形式，最终经过这个换元过程是否达到了目的，就要看是否确实计算比计算要容易，如果没有达到这个目的，则说明应用换元法无效，必须考虑使用别的方法。至于如何选取适当的，并没有一定的规律，主要是依靠我们通过练习来获得经验，增强观察力。
而应用换元法一的条件是其中所涉及到的，
都必须是连续的。
最后需要注意的一点是，必须把变量x通过代入积分结果，从而得到我们真正要求得到的积分。
（2）换元法二。
如果我们是取，我们就可以进行下面的推导：
这整个推导的最终目的，就是希望新形式的被积函数
，尽管形式可能变得要复杂一些，但还是要比f（x）更容易计算积分。如何恰当地选取而达到这个目标，则仍然是属于熟能生巧的范畴。因此学习积分计算，最为重要的就是加强练习。
从换元法二的过程，可以看到它的一个条件就是要求f（x）连续，而必须具有连续的导数，并且这个导数不能等于0。
同样需要注意的一点是，必须把变量x通过
代入积分结果，从而得到我们真正要求得到的积分。
下面列出应用换元法所求出的一些常用函数的不定积分，在后面可以作为公式使用，不过希望同学们能够自己动手加以推导，这样才能真正掌握这些公式，同时也锻炼了自己运用换元法的能力。
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
；
（7）
；
（8）
；
（9）
；
（10）
分部积分法。
相当于乘积的求导法则的就是所谓分部积分法，我们可以直接从乘积的求导公式来推导出分部积分法。如下：
根据乘积的求导公式
，
得到
，
如果采用微分形式，就是
，
两边取积分，就分别得到
和
，
这两个表达式分别代表了两种方式的分部积分法，即或者把原来的积分凑成
的形式，然后通过计算
而得到结果；或者把原来的积分凑成
的形式，然后通过计算
而得到结果；当然这里的前提，或者说要使得使用分部积分法有意义，就必须首先考虑到计算和要比原来的积分计算简单。而所谓分部的意思，就是把本来的积分凑成上面的u和v的组合形式。如何恰当地凑成u和v，使得简化积分过程的目的能够达到。则必须通过大量的练习，来增加观察力。
有理函数以及可以化成有理函数的函数积分。
对于任意有理函数，存在一个固定的代数算法，可以把它分解为四种基本形式的有理分式的和，而这四种基本形式的有理分式存在相应的积分公式。列出如下：
（1）
（2）
（3）
（4）
其中
；dt=dx；
。
可以很容易地求出（4）中的第一个积分为
。
而对于第二个积分式，我们可以得到递推公式
，
其中
。
如果有理函数的自变量是以三角函数的形式出现的，那么我们可以通过如下的一套半角变换，把三角函数有理式化成一般有理式，从而进一步求出积分来。
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
。
不过，在这种涉及繁复的代数计算时，一定要注意掌握一个原则，就是动手之前仔细观察，根据经验判断是否存在更为简单的方法，只有在确实找不到简单方法之后，再开始根据这种确定的计算程式来进行计算。
初学者可能觉得这里所涉及到的公式过于繁复，实际上只要我们能够自己尝试作一些推导，勤于练习，还是能够熟练掌握的。
定积分及其几何意义与性质。
顾名思义，定积分应该与不定积分具有密切的联系，不过从历史的发展的角度来看，定积分与不定积分完全是相互独立产生的，只是后来这两个概念的进一步深化发展，人们才了解了这两个概念之间的相互关系，而这种关系从某个角度来看，正是反映了微积分的核心思想所在，我们在后面讨论变上限定积分和牛顿-莱布尼兹定理时，再仔细分析这点。
目前我们仍然遵循历史发展的顺序来展开概念。
定积分概念具有深厚的物理世界的直观来源，简而言之，任何涉及对连续变量的求和，实际上就是使用了定积分的思想。
首先需要设函数y=f（x）在闭区间[a，b]上连续，因为在本课程我们只考虑连续的情形。然后把闭区间[a，b]分成n个任意的部分，同时又在每一个部分内部取任意一点，对每一个部分，作这点的函数值与这个部分区间的长度的乘积，就得到了n个这样的乘积，把它们都加起来，这就是所谓的求和，作为一种近似计算，这个计算程序是我们在大量的实际问题当中都需要遇到的，这里积分的思想，就是看到在这n个区间长度当中，肯定存在一个最大的长度值，然后运用极限的思想，取这个最大长度值趋向于0时，求上面的n个乘积的和的极限。
形式地表示出来，就是
。
其中
就是这n个区间长度当中最大的长度值，
为第i个部分区间中的任意一点，这个极限就称为函数f（x）在闭区间[a，b]上的定积分。
注意在上面的记法当中，目前dx还没有任何的意义，还不能理解为变量x的微分，而只能把右边的表达式作为一个整体来理解，即作为一个和式的极限而已。
显然，这个极限就不再是一个近似值了，而是一个精确值。
不过，这里的问题首先是这个极限是否存在，也就是函数是否可积的问题；然后是如果存在，则如何求出这个极限值，也就是积分法的问题。这两个问题可以说是积分学的两个主要问题。我们的课程主要涉及的是后面的问题，前面的问题需要很多的理论准备，因此不作要求。
完全只是基于这种作为和式的极限的理解，就可以得到定积分的很多性质，以及它的几何意义。
所谓定积分的几何意义，实际上在它的定义构造当中已经很清楚地表现出来。如图所示，我们可以看到，所谓求和的几何意义，就是求函数所表示的曲线与X轴，以及x=a，x=b这两条直线之间所夹的部分的面积，而极限值就给出了面积的精确值。
从几何的角度来理解定积分的意义，就可以非常容易下面的定积分的性质。
（一）被积函数的齐性。
如果函数f（x）在闭区间[a，b]可积，那么函数kf（x）也在闭区间[a，b]可积，其中k为任意常数，并且常数可以从积分号下提出来，即
。
（二）被积函数的加性。
如果函数f（x）和g（x）在�