1.1
确立函数与计算的具体概念之后，就要求进一步确立对于函数变量取值或计算结果具有完备的描述能力的数的集合。
后继的运算->自然数集合的公理化定义
四则运算->有理数集合的运算定义
至此所有的运算，都包含阿基米德度量性质：任何一个确定的数，使用任何一个单位e去度量它，总是可以在经过n次度量之后，得到的n*e大于该数。
因此可以把这个性质用作刻画我们所需要的数集合的一个公理：阿基米德公理。
然后使用这个公理来刻画存在于我们的直观里面的顺序的观念：在数集合的元素之间建立顺序关系，即对于任意两个不同的元素a和b，必定有，或者a大于b，或者a小于b。因为总是可以用a来度量b，或者用b来度量a。
在函数的研究中引入代数方程的概念后，立刻可以知道有理数不具有完备的描述代数运算结果的能力，即实在的代数方程的根常常无法用有理数表示。
其原因在于：只要不涉及求负数的偶数次方根的运算，代数运算就是保持数集合顺序结构不变的，即如果要对一些数进行代数运算，它们之间是可以按照从大到小的顺序排列出一个唯一的序列的，而对它们进行运算之后所得到的结果，也必然能够插入这个序列，其位置是唯一的。有理数集合的问题就在于，它没有能够完备地描述这个作为对于数集合的一个基本要求的顺序结构。
那么在什么情况下，才可以说顺序结构获得了数的完备的描述呢？
所谓顺序的完备，原始的含义就是对于任何计算结果，我们总是可以把所有的目前已知的能够相互建立顺序关系的数（有理数）分为两个子集合A和B，使得所有属于A的数都小于这个结果，而所有属于B的数都大于这个结果，然后这个结果应该是一个确定的获得了描述的数。
也就是说，对于任何一个能够与所有已经相互具有顺序关系的数建立大小关系的数，必须都属于我们所需要的数的集合，才可以说这个集合在顺序上是完备的。
反过来，我们正是从顺序完备的这种涵义出发，来基于有理数集合而构造顺序完备的数集合-实数集合。
任何一种把所有有理数分为两个子集合A和B，而A的所有元素都小于B的任意元素的方法，都称为对于有理数的一个Dedekind分割。
一种显然的分割方式，是任意取定一个有理数q，使得所有大于q的有理数构成集合B，而所有小于q的有理数包括q自身构成集合A。这时集合A存在最大值q，而集合B不存在最小值。（当然也可以约定把q归属于集合B，则反之。）这时，我们不妨说，这个分割定义了数q。
另外一种分割方式，是对于无论用什么方式得到的一个数r，如果我们总能够对所有有理数判断，或者是小于r，或者是大于r，这样就能够分别构成集合A和B，而成为对于有理数集合的一个分割。
然后，假如我们能够肯定数r不是有理数，那么无妨认为这个分割本身即定义了数r。 这时，A中不存在最大值，同时B中不存在最小值。否则，该分割定义的就会是相应的最大值或最小值。
这时，我们就可以说，有理数集合的所有分割的集合，就是一个在顺序上完备的数的集合，称为实数集合。
对于这样一个实数集合，目前我们只知道，对于该集合的任一个元素，都可以和该集合当中的每一个元素建立大小的顺序关系，而能够和该集合里面的任意元素都能够建立大小顺序关系的数，都包含在这个集合里面。
下面进一步，从实数集合的这个性质出发，来讨论实数集合在描述函数以及计算方面的性质。
----------------------------------
例1.割圆术所获得的圆周率
例2.欧拉常数
----------------------------------
1.2
运用函数概念所从事的第一个最富野心的工作，是分析无限的涵义。
关于无限，存在两种提问的方式：
a.无限的物理涵义是什么？这是一个物理的问题，应用于譬如说“整个宇宙的中微子的数量是无限的吗，宇宙是否无限膨胀下去呢”这样的句子里面。
b.如何应用函数构造来刻画其中出现的无限？这才是数学的问题。
通过后继运算而构造自然数，刻画了第一个我们关于无限的直观概念。
通过建立自然数与有理数的一一映射，也确立了等势的概念：能够在元素之间建立一一映射的两个集合的元素数目相等，即等势。
运用自然数（作为指标集）来标记运算，使得能够明确定义无限次数进行的运算，这样的运算结果可以不是代数数，但仍然能够和实数比较大小，即仍然属于实数，称为超越数。
-----------------------------------
例3.pai是超越数
例4.欧拉常数是超越数
-----------------------------------
运用自然数标记的无限次运算的构造，称为序列。其运算结果，称为序列的极限。或者把这整个的运算过程，称为极限运算。