第二章

第二章质点动力学

运动学与力学的关系以及牛顿运动定律产生的背景

我们已经知道，运动学的研究不足以揭示我们观察到的自然界的现象的产生原因。一个运动学方程只是描述了质点在一段时间内的每一个时刻的位置。在实际问题中，我们记录下质点运动在某一个时间范围内每一时刻的位置，然后知道了在这个时间范围内的质点的运动轨迹，如果我们的研究只是到此为止，那么我们只是作了一种测量的工作，意义是很小的。因为我们不能由此作任何推导，比方说我们无法知道在这个时间范围以外的某个时刻，质点会是什么样的运动状态，除非我们已经知道质点仍然保持原来的速度和加速度的条件。但在实际问题中，在一个时刻所作的运动学意义上的测量，并不能得到在以后时刻保证质点都遵循的速度与加速度条件。这就是说，我们已经学过的运动学尽管能告诉我们如何描述质点运动的方式，但并不能告诉我们质点按某种方式运动的原因。

我们不妨想象一下，假如我们对自然界里的现象只能进行描述，也就是说，只有在看到了什么以后，才能说什么，那么就不能说这是科学。对于质点的运动，我们能测量到质点在某一个时刻的位置，然后还可以通过测量得到质点在这一个时刻的速度和加速度，然而我们并没有任何的理由来断定质点在这以后或以前的时刻，仍然具备相同的速度和加速度条件。因此当物理学发展到完成运动学后，面临的任务就是研究导致速度和加速度的原因。只有了解了产生速度和加速度的原因，我们才有可能根据质点现在的状况，来判断质点在未来或过去的速度和加速度状况。这就是牛顿运动定律产生的背景。

牛顿第一定律。

既然加速度是描述速度的变化，那么对于质点的运动，我们可以首先按速度不发生变化和发生变化这两种情况来分别两种运动状况。对于速度不发生变化的运动过程，我们有牛顿第一定律：

当物体不受任何外力作用，或它所受所有外力的合力为零，那么物体保持静止，或保持匀速直线运动。

这条定律也可以反过来理解，也就是说，如果物体保持静止，或保持匀速直线运动，那么物体不受任何外力作用，或它所受所有外力的合力为零。

我们看到，这条定律实际上给出了质点速度保持不变的原因，这样一旦我们能够判断质点具备了这样的物理条件，那么就能够断定质点在任何时刻的速度都保持不变，只要这个物理条件保持不变。

实际上，从另一个角度来讲，牛顿第一运动定律也同时规定了一系列参照系，在牛顿力学里，这一系列参照系是最自然，最适宜用来作为我们观察运动现象的参照系。我们已经知道，原则上任意运动对象都可以作为我们观察其他运动对象的参照系，从而得到的是其他运动对象相对于被我们选为参照系的对象的相对运动的描述。但是从牛顿力学的角度出发，一个物体的速度是否变化是有本质不同的。对于一系列相互保持匀速直线运动的质点，任意取其中一个作为参照系，其他的质点仍然保持匀速直线运动，如果存在一个质点对于其中任意一个参照系是具有加速度的，那么它对于这一系列参照系中任意其他的参照系都会是具有加速度的。因为加速度不可能通过速度的代数运算而抵消。

反过来，如果我们取一个相对于匀速直线运动的物体作具有加速度的运动的物体为参照系，那么在这个参照系里，那个本来是匀速直线运动的物体反而作加速运动。如果我们认为速度是否变化具有本质的区别，那么一旦取一个加速运动物体作参照系，就会赋予其他物体虚假的物理性质（我们在下面还会要仔细讨论用加速运动物体作参照系的问题）。这是理所当然应该避免的。

但是，对于一对相互具有加速度的运动物体，我们凭什么有可能取其中的一个物体为匀速直线运动呢？因为既然一切运动都是相对而言的，似乎我们没有理由先验地相信某个物体必然是作匀速直线运动，因为我们要是观察到这个物体是作匀速直线运动，则作为观察者就必须是取一个相对于被观察物体作匀速直线运动的物体作为参照系（刚性坐标架）。那么我们又如何相信被我们取为参照系的物体是作匀速直线运动的呢？于是我们似乎进入了逻辑循环。

这个问题实际上涉及到了牛顿力学的基本假设。尽管牛顿宣称“我不需要任何假设”，但这个假设他是无法避免的。即假设存在一个绝对静止不动的时空参照系，从这个参照系出发就可以确定其他一切的作匀速直线运动的物体，然后在实际问题中我们就可以取其中任意的一个物体来作为参照系，从而得到解决问题的方便。

这个假设存在的绝对静止不动的时空参照系被称为绝对时空。从物理上讲，它可以这么理解，即离我们越远的宇宙深处，越是近似于绝对参照系。因为离我们越远，受我们这里的力的影响越小。至于在实际问题里，我们总是能取一个受外力的和近似为零的物体作为我们的参照系，从而不影响我们应用牛顿运动定律。

我们看到在这个角度上，牛顿第一定律实际上也就是定义了绝对时空的存在。

在绝对时空里，物体保持匀速直线运动的能力的属性被称为惯性，在绝对时空参照系里，保持匀速直线运动的物体都可以取为参照系，这些参照系被称为惯性参照系。

进一步，我们通过牛顿第二定律会看到，惯性是可以定量表示的。

至此我们可以领会到绝对时空对于牛顿力学的基本重要性。实际上牛顿力学的有效性也正是由这条定律规定，而爱因斯坦也正是通过揭示这条定律的局限性，而得到更一般的力学-狭义相对论。这点我们将在以后的学习中领会到。

牛顿第二定律。

上面我们已经说过，在牛顿力学里认为对于质点的运动，速度是否变化是非常不一样的。对于匀速直线运动的物理原因，我们理解为质点所受合力为零，对于速度发生变化的运动，我们就理解为质点所受合力不为零。而质点是否受力为零，在物理上是有本质的不同的。这样我们就得到了牛顿第二定律。

如果物体所受的外力不为零，那么物体运动的加速度和它所的外力成正比，和物体本身所含的物质总量成反比。

这条定律同样也可以反过来说，即如果物体的加速度不为零，那么它的加速度的大小与它所的外力成正比，和物体本身所含的物质总量成反比。

如果把物体所受力用F表示，物体的加速度用a表示，物体的质量用m表示，那么牛顿第二定律可以用数学公式表示为：

F=ma。

这条定律直接表达了质点运动的加速度的产生原因。这样只要我们观察到物体运动具有加速度，就可以说物体所受外力不为零。并且加速度同时表达了两个方面的因素。

如同在第一定律里同时定义了惯性和惯性参照系一样，在第二定律里也同时定义了力和质量的概念。初学者往往很难理解这点。

我们知道通过第一定律，已经假设存在绝对时空参照系，在实际问题中我们往往也能很容易地建立近似的惯性参照系，那么基于惯性参照系，当我们测量到物体运动的加速度不为零时，我们就把物体的状态理解为它受到了不为零的外力，这样我们关于受力就有了一个可以定量研究的途径。第二定律的规定是对于同一个物体，受力的大小和加速度的大小成正比，而且所受力的方向和加速度的方向一致。这样在物理学的历史上，对于力的观念第一次摆脱了直观而模糊的理解。因为加速度是可以精确地加以测量的物理量。从而力也可以加以精确的测量了。

同时由于力是由物体的外部环境对物体所产生的作用，那么只要我们想办法控制住外部对物体的作用力保持不变，再改变物体本身的物质的总量，就可以得到加速度还与物质的总量成反比，或者反过来说，在外部对物体的作用力保持不变时，加速度还和一个表征物质总量的大小的物理量成反比。从第一定律我们知道，物体具有保持自身的匀速直线运动的状态的属性，称为惯性，如果要使得物体改变其匀速直线运动状态所需的力越大，那么就是说物体的惯性越大，更具体的说，如果有两个不同的物体，开始都保持相同的匀速直线运动，现在要使得它们都具有相同的加速度，如果作用于它们之上的力不相同，那么肯定是因为这两个物体具有不同的惯性，需要作用力大的物体，则惯性也大，需要作用力小的物体，则惯性也小。因此这里实际上是定义了惯性的度量方式，也就是说，物质的总量的度量方式。我们称之为质量。

运动学一开始，我们已经不加定义地引入了质量的概念，即把质点定义为具有一定质量的几何点。但那时我们只是基于直观地使用这个概念，一直到这里，我们才得到质量的合乎逻辑的定义。即

质量是作为度量物质的惯性大小的物理量，当物体运动时，它作为物体所受力与物体运动的加速度成正比的比例因子。并且同一个物体在运动时，质量保持不变。

这就是牛顿第二定律给我们带来的对质量的精确定义。

注意到，在牛顿第二定律里，只有加速度的概念是已知的，其他涉及到的两个概念都是通过它们与加速度的关系来得到定义的。意识到加速度的这种基本重要性是牛顿力学发展的一个关键。

我们知道加速度是质点运动时，位移对于时间的二阶导数，那么位移对于时间的三阶或更高阶导数是否同样有物理意义呢？我们在后面的学习中会体会到，相应于加速度的概念的力的概念是非常适宜于描述物理世界里真实存在的物质之间的相互作用的。因此求进一步的第三或更高阶的导数意义不大。因为可以想象，第三阶导数的意思肯定是指力的变化率，更高阶导数则以此类推。

我们再看第二定律和第一定律的关系。

从第二定律的数学表达式可以看到，F=ma，当力为0时，加速度也为0，正是第一定律所表述的。因此第二定律的数学表达式里似乎是包含第一定律的。不过在第二定律的表述中并未说明变量取零值的情况，因此在这种意义上，第一定律仍有单独存在的必要性，而且第一定律更是强调了惯性参照系的基本重要性，这也是单独用第二定律所不能涵括的。

让我们再回顾总结一下。

对于在地面上静止的观察者来说，（尽管我们知道对运动的观察依赖于观察者所在的参照系，但我们暂时不考虑以地面作参照系的合理性问题，）第一件有意义的事是意识到静止和匀速直线运动是等价的。这点可以通过比较分别在地面静止不动和相对于地面作匀速直线运动时所观察到的运动现象是否有本质的差异来得到。这种实验是非常容易作的，物理学的先驱们通过大量的这一类实验，比方说在匀速直线移动的马车或船上，作各种各样的物理学实验，观察不到和在静止的地面上作的实验有何本质的不同。这就只能说明静止和匀速直线运动的等价性。

现在在我们需要研究的形形色色的运动中，静止和匀速直线运动被归于同一种运动，那么进一步导致静止或匀速直线运动状态发生变化的就是加速度的出现了。由于我们对于静止已经有了很明确的看法，即对于静止的物体，外界对物体所产生的影响一定是全部抵消了的。因此要改变物体的静止状态，就一定是要有额外的作用，一定是有物理原因的。日常生活里我们常常把一种外界作用称为力，那么就不妨把这种加速度的产生的原因归之于力，使得力成为物体之间相互作用的一种物理实在，并且直接定义力的大小正比于加速度的大小。

反过来看，我们是从观察到的现象来推断一种物理实体的存在性，日常的状态下，加速度的测量是非常明确的。由加速度的出现，我们就可以断定一种物理作用的出现，尽管我们还不知道这种物理作用的来源或者说本质是什么。但至少如此明确地抽象出力的概念来，就给出了我们进一步研究物理现象的途径。因为下一步我们就可以针对我们在观察到的现象中所出现的加速度，来寻找相应的物理作用。循着这个思路，导致了伟大的万有引力的发现，而经典物理学最辉煌的历史就是找到自然界里的两种最基本的力：万有引力和电磁力，并且最终把日常生活中所能观察到的种种物理作用都归结为这两种力。至此我们已经可以看到牛顿运动定律决定了经典物理学的基本思路。

牛顿第三定律。

现在我们已经看到，外界对一个物体产生力的作用，就表现为这个物体会产生加速度，而所谓外界，终究也还是可以看成一个物体，那么我们观察这个物体，它对另外一个物体产生力的作用，那么它自身又会有什么表现呢？这就是牛顿第三定律所要说明的。

如果物体A对物体B产生作用力F_AB，那么同时就意味着物体B对物体A产生了作用力F_BA，并且F_AB和F_BA大小相等，方向相反。

注意这两个力F_BA和F_AB的区别。F_AB指的是物体A对物体B产生的作用力。F_BA指的是物体B对物体A产生的作用力。这两个作用力所作用的对象不一样，也就是说作用点不一样。而初学者常常把这里出现两个力的情况和一个物体上同时受两个力的情况混淆起来，从而得到作用力和反作用力相互抵消的错误结论。

从第三定律我们知道了，力总是产生于两个物体的相互作用，而两个物体的相互作用必定同时产生两个作用力，这两个作用力大小相等，方向相反，并且相互以对方作为作用对象。这样我们就进一步明确了力作为相互作用的属性。在下面的学习中我们还会看到第三定律构成了动量守恒定律的基础。

重力与重量。

牛顿运动定律赋予了我们观察自然现象的清晰看法。首先我们从寻找自然现象中的加速度入手，从而发现加速度背后的力。

日常生活中最常见的加速度莫过于自由落体里表现出来的加速度。对于自由落体现象，人们的认识经历了相当曲折的过程。在亚里士多德时代，人们认为自由落体运动是最自然的运动，因而是由下落的物体本身的属性所决定的，比方说，轻而稀疏的物体下落就慢，重而密实的物体下落就快。总之这是与外界无关的由物体自身属性决定的一种性质。一直到伽利略，他才以真正科学的精神，通过实际地作实验，从而推翻了这条亚里士多德的戒律，得到任何物体都有相同的自由落体加速度这一有悖常识的正确结果。进一步到了牛顿的时候，牛顿开始寻找自由落体的物理原因，也就是是什么力导致了自由落体的加速度。

一个有名的传说是牛顿在一个苹果树下散步的时候，被一个苹果砸在头上，从而领悟到苹果的自由落体运动和行星的绕日运动, 或者说月亮的绕地运动的一致性。因为当时牛顿苦苦思考的另一个问题就是，是什么原因导致行星环太阳作椭圆运动。尽管这个传说未必是真实的，但能领悟到行星在作环绕太阳的椭圆运动时所表现出来的加速度，和苹果作自由落体运动时所表现出来的加速度具有相同的物理原因，肯定是导致发现万有引力的相当关键的一步。

一般的万有引力我们在后面再讨论，现在我们只讨论具体的导致地面上的自由落体运动的重力。

因此单纯从实验近似的角度上讲，在一般的高度范围内，重力加速度都足够近似的保持不变。我们必须强调一点，这个结论只是在不太大的高度范围内近似成立。如果我们的实验仪器足够精密，就能发现重力加速度不仅和海拔高度有关系，而且还和经纬度有关系。这点我们在后面再讨论。

根据牛顿第二定律，自由落体加速度一定意味着外界对自由落体有一个作用力，牛顿认为这个作用力来源于地球对自由落体的吸引力，并称之为重力，正是重力导致了自由落体在空中具有了自由加速度，用数学公式表述这点，就是

G=gm。

其中G表示自由落体所受的重力，g表示自由加速度，m为落体的质量。

有了上面有关各个物理量的明确解释，公式G=gm就有了完全不同于作为一般的牛顿第二定律的公式F=ma的意义，因为重力公式表述的是有关一种具体的作用力的规律，其中的加速度g作为比例因子保持不变，而重力G和质量m成正比。而牛顿第二定律的公式表述的是由加速度a的产生决定了一种力F的存在，这时并不是要表述有关这种力的规律。

初学者对于这种区别一定要细心体会，千万不要认为这是无关紧要的。因为我们学习的是物理，而不只是一些数学公式，学习物理最要紧的是“视之有物”，对于任何形式上的表述都能做到“视之有物”，才能细心而深刻地体会物理概念，才能培养自己的物理洞察力，而不是只会死套公式。

我们在日常生活中还使用一个概念：重量，实际上就是物体所受的重力大小，就是G，或者说，就是gm，因此和物体的质量是本质上完全不一样的概念。这种本质的差别也体现在这两种物理量的测量方法上，对于质量，我们一般应用天平来测量，而对于重量，我们常常应用弹簧秤一类的量具来进行测量。

那么天平和弹簧秤的差别又在哪里呢？

我们设天平两边的物体质量分别为m₁和m₂，如果天平平衡了，说明两边物体的重量一样，也就是

m₁g=m₂g

由于天平两边的g相等，所以得到m₁=m₂。这个结论与g的大小变化无关，只要g不等于0，在月球上也能得到同样的结论。

而对于弹簧秤，我们所依据的原理是弹力与重力的平衡。也即：

F=G=mg。

我们从弹簧秤上读到的测量值是与F相等的G的大小，而不能直接得到m的值，因为g的大小是随高度和经纬度发生变化的，而我们在用弹簧秤称物体时并不能得到g的大小。也就是说，弹簧秤只能称重量。

弹性力。

上面在测量重量时我们已经接触到弹性力。弹性力和我们上面学习的重力是非常不同的物理概念。重力是一种很基本的作用力。我们不知道重力是怎么产生的，而对于弹性力，我们总是可以把它归结于电磁力。也就是说弹性力是一种具有具体机制的物理过程的外在表现。它之所以被称为一种力，也就是从它作用于一个物体能导致这个物体产生加速度这种意义上而言的。

我们观察自然界里的弹性现象，会发现弹性的产生必然是通过弹性体的机械变形而导致的。因为我们知道所谓弹性，就是物体在被外部物体作用而发生机械变形，而一旦外界作用撤消又自动恢复原形的现象。因此我们可以通过弹性体发生弹性变形的大小来度量弹性力的大小。最早被虎克发现的弹性定律就是说明了弹性力的大小与弹性变形的大小的关系。

F=-kl。

其中，F为弹性力，l为弹性体离开其平衡位置的变形大小，k为一个常数，被称为弹性系数。其中的负号是由于变形的方向一般是和弹性力的方向相反。

弹性系数为常数是有条件限制的，每一个弹性体都有一定的弹性变形范围，在这个范围内，弹性系数可以很好地近似为常数，这种弹性变形被称为完全弹性变形。超过了这个范围，弹性系数就会发生变化，甚至使得弹性体不能恢复原形。

弹性体的形变大小往往得根据具体的弹性体来考虑测量方法。最常见的弹性体当然是弹簧，对于弹簧来说，其弹性变形的大小可以直接由弹簧的螺旋轴向的伸缩来刻画。在弹性变形范围内，通过实验可以验证弹簧很好地满足弹性定律。

还有用于测量微力的纽称里的扭摆，利用的是金属丝的轴向纽动时所发生的弹性变形。

在我们的日常生活中其实大量地存在弹性力的现象，所谓的压力，拉力，支撑力，推力，张力等这一类纯粹几何性质的描述的力，在大多数情形下其实都属于弹性力，只不过由于其中的弹性变形很小，不容易被观察到而已。

弹性力的一个共同特征就是弹性变形和弹性力在一条直线上，而它们的方向相反。因此我们在实际问题中只需要仔细观察弹性变形的方向就可以很快的判断弹性力的方向。

摩擦力。

摩擦力也只是表现在宏观现象上的一种力，它的具体机制非常复杂，但本质上，也可以归结为电磁力。因此和弹性力一样，我们只能得到关于摩擦力的现象上的描述而形成的所谓规律，就是物理学里的所谓唯象规律。

对于摩擦现象我们只考虑固体表面之间的摩擦，这种摩擦被称为干摩擦，而干摩擦又分为三种，有所谓静摩擦，滑动摩擦，滚动摩擦。

静摩擦是指两个物体相互之间存在压力与支撑力的相互作用，而它们之间又没有相对运动，在这种情形下，两个物体之间存在着沿着接触面的切线方向的相对的静摩擦力。所谓相对的静摩擦力，是指在牛顿第三定律意义上的作用与反作用力。也就是说，物体A对物体B有静摩擦力，同时，物体B对物体A也有相同大小，相反方向的静摩擦力。

静摩擦力的大小是不确定的，因为这个力只有在平行于静摩擦力的方向上对其中任何一个物体产生外部的拉力或推力，才有可能表现出来。静摩擦力有一个最大值，只要外部力量沿着静摩擦力的方向上不大于这个最大值，这两个物体就不会发生平移。而这个静摩擦力的最大值和这两个物体沿着接触面的法向正压力成正比，摩擦系数在这个正压力的一定范围内保持为常数，它是由这两个物体的材料以及表面状况决定的。也就是说：

f≦μ_sN

其中f为静摩擦力，N为物体之间的正压力，μ_s为静摩擦系数。

滑动摩擦。

一旦外部力量大于静摩擦力的最大值，这时就发生滑动摩擦的现象。这就是两个物体发生了相对滑动，对于滑动摩擦力有公式：

f=μ_kN。

其中，μ_k被称为滑动摩擦系数，它在习题里常常被设为常数，但实际上它和相对滑动速度有关，N为两个物体之间的正压力，从总个公式看来，滑动摩擦力对于两个给定的表面，和接触表面面积无关。

在实际问题的分析中，要注意的是，对于滑动摩擦的情形，滑动摩擦力的方向一般和物体滑动的方向相反，这是比较好确定的。

但还有一种摩擦现象是一个物体相对于另一个物体，或者两个物体相对地作滚动，一般来说，滚动摩擦力要小于滑动摩擦力。特别的，对于滚动摩擦的情形，千万要注意，滚动摩擦力的方向并非和物体滚动的方向相反。仔细分析就会发现，对于纯滚动来说，滚动摩擦现象实际上还是一种静摩擦现象，对于非纯滚动，则变成一种滑动摩擦。而滚动轴的运动方向是和接触面的受力方向或滑动方向相反的。因此分析滚动摩擦的受力情况时一定要非常小心。

由于实际的滚动摩擦现象比较复杂，我们不在这里作进一步的讨论。

注意到我们上面的叙述中，没有特定地指出是哪个物体沿着哪个物体作摩擦运动，因为摩擦运动作为两个有接触表面的物体的相互运动，是满足牛顿第三定律的。因此我们所说的摩擦力既可以指物体A对物体B的摩擦力，也可以反过来说是物体B对物体A的摩擦力，这是一对作用力与反作用力。在我们分析具体问题时，一定要明确是以哪个物体作为研究对象，然后再分析作用在这个物体上的作用力。初学者常常在分析具体问题时，在还没有确定所要研究的对象的情形下，就被各种来源的力搅得一塌糊涂。这是应该极力避免的。

自然界中的力。

在我们上面所讨论的种种力之中，弹性力和摩擦力都只是唯象的力。只有重力，也就是万有引力才是自然界中的一种基本作用力。综观整个物理学的历史，研究各种各样的力总是物理学非常重要的工作。人们在具体问题中发现一种作用力形式之后，首先研究它的产生机制，然后看能否归结为某种基本的作用力。

到目前为止，人们已经发现自然界的形形色色的作用力形式都可以归结为四种最基本的作用力，即万有引力，电磁力，强相互作用和弱相互作用，其中前两种作用力就足够解释我们日常生活中的几乎所有现象。这是经典物理学最伟大，最辉煌的胜利。

但是在具体的问题中，我们并非总是从万有引力和电磁力出发来解释现象。对于形形色色的唯象的作用力，我们并不一定非得要把它们分解为这四种基本作用力，有时实际上我们还做不到这点。我们完全可以只是研究唯象的作用力本身，直接寻找它的规律，这同样是物理学研究中非常重要的一部分。正如我们上面所讨论的关于弹性力和摩擦力的规律，同样可以在我们解决实际问题中发挥作用。

特别是牛顿运动定律给我们研究物理现象提供了一个通达而有效的途径。那就是只要我们在现象中发现了加速度的产生，我们就可以由此断定存在一个作用力作用在研究对象上，然后再通过分析研究对象与外界的相互作用情况来找到这个作用力的来源。我们下面就要循着这条思路，来研究作匀速圆周运动的质点，看导致它作匀速圆周运动的原因何在。

向心力。非惯性参照系。离心力。

在通过应用牛顿运动定律来明确地理解向心力和离心力之前，人们对于向心力和离心力只有一些模糊地直观观念。只有通过应用牛顿运动定律，才能明确而定量地讨论这两种力。

我们已经讨论过质点在作圆周运动时，质点的加速度，也就是向心加速度总是与质点的速度垂直的，而质点的速度的方向总是与质点的运动轨迹相切，那么向心加速度的方向就是沿着圆周半径的方向，指向圆心的。根据牛顿第二定律，导致这个向心加速度的原因必是存在一个与向心加速度具有相同方向的作用力。我们可以不管这个作用力的来源，而把这个作用力称为向心力，这完全是根据这个作用力的效果来命名的，所以不同于我们在前面所讨论的作用力的命名。

直接根据牛顿第二定律，我们就可以得到向心力的公式表示：

f=ma=V²m/r=mrω²。

在不同的情形，向心力有不同的来源。比方说，用绳系石头，再用手把石头抡圆了，就是绳对石头的张力提供了向心力。对于环绕地球运动的月亮，就是地球对月亮的吸引力提供了月球的向心力。总之只要这种力总是与物体的速度保持垂直并且大小保持不变，就能作为这个物体进行匀速圆周运动的向心力。我们完全可以证明这个结论。下面给出思路，完整的证明希望同学们作为练习自己完成。

首先，这个力总是与物体的速度保持垂直，那么它在沿着速度的方向上的分量为0，也就是说这个力对于速度的大小变化没有贡献，换句话说，就是物体的运动速度大小将保持不变。但这个力总是作用在这个物体上，因此这个力对于物体的作用就完全表现在改变物体运动的方向上了。由于物体运动的加速度的方向总是和它所受的外力的方向保持一致，因此物体的加速度的方向也总是和物体运动的速度保持垂直，另外这个力的大小不变，那么物体的加速度的大小也就不变。再根据瞬时加速度的定义，我们就可以解出物体的运动轨迹为一个圆周。而我们已经得到物体运动的速度大小保持不变的结论，因此这个物体作匀速圆周运动，而这个力提供了向心力。

让我们进一步考虑一下类似于月球绕地球运动时的向心力。一个天体A作匀速圆周运动，则必定存在一个向心力作用于这个天体之上，根据牛顿第三定律，如果这个向心力是由另外一个天体B对天体A产生的作用力来提供，那么，A对B就会产生一个反作用力，这个反作用力作用于B，会对B产生什么样的作用呢？实际上是同样对B产生了向心力的作用。也就是说，当我们说A由于B的作用力而绕B作匀速圆周运动时，实际上，B也由于这个作用力的反作用力而绕A作匀速圆周运动。这就是说A和B运动的圆心是在它们连线中间的某一点上，而不是在A或B的质心上。

不过在我们遇到的实际问题中，我们总是可以假设A和B中间有一个是近似不动的。这样就降低了处理问题的难度，而又不至于偏离真实情况太远。

下面我们从一个完全新的角度来考察匀速圆周运动。

在此之前，我们都是从惯性参照系里来观察匀速圆周运动，无论是向心力还是向心加速度都是站在惯性参照系里所得到的观察结果。可是由于我们人类生活环境的一个特点，即我们是生活在一个绕轴旋转的球体表面，使得我们不得不要更进一步研究在非惯性参照系里对匀速圆周运动的观察会有什么结果。因为当我们在地面静止不动地观察事物时，实际上就是处于一个非惯性参照系里观察事物。而这会给我们的观察带来什么后果，正是我们下面所要研究的。

首先，我们假设自己作为观察者，和一个作匀速圆周运动的物体保持相对静止，实际上就和我们静止的坐在地面，观察一块同样静止不动的石头一样。首先我们从在惯性参照系里的观察知道物体是在作匀速圆周运动，也就是说，物体肯定是受到了一个向心力的作用，那么我们在非惯性参照系里也应该肯定物体是受到了一个向心力的作用，因为这种作用力必定是一个实际的物理过程，并不能说因为换了一个参照系就消失了，那么现在在非惯性参照系里看来这个物体并没有运动，而是保持静止，那么如果我们仍然希望在这个参照系里使得牛顿运动定律是有效的，则根据牛顿运动定律，一定还存在另外一个力，使得物体所受到的向心力被抵消，这个力就被称为离心力。它和向心力大小相等，方向相反，同样是作用在这个物体上。你可能会说和向心力平衡的是地面对石头的支撑力，实际上，我们可以把石头放在弹簧秤上，测量的结果要小于我们在地球自转的轴端面上得到的测量结果。

注意：离心力只是对于在非惯性参照系里的观察者才存在的力，是我们为了使得在非惯性参照系里牛顿运动定律仍然有效，而不得不引入的一个形式上的力，对于在惯性参照系里的观察者，这个力是不存在的。前面我们曾经讨论过和向心力互为作用与反作用的力，但那个力是作用在对物体运动提供向心力的另一个物体，是有真实的物理来源的力，而离心力则是和向心力作用在同一个物体上。

直观地考虑这个问题，可以想象在一般的惯性参照系里，观察一个作匀速圆周运动的物体，比方说用绳系住的抡圆了的石头，如果突然绳子断了，石头肯定会沿着圆周的切线方向远离圆心而去，我们可以马马乎乎地说是石头由于受到离心力的作用而离去。而实际上可以想象，如果没有重力和大气的影响，石头会沿着切线方向作匀速直线运动。因此石头完全是因为惯性的缘故而离开原来的轨道的。因此本质上，离心力是一种惯性力，而向心力才是改变石头的惯性轨道，迫使它沿着圆周运动的真实的力的作用。离心力的存在，只不过是由于石头在作非惯性运动的缘故。

总之，在惯性参照系看来具有加速度的物体，总是可以看成是存在相应的力作用在物体上的缘故，那么在把同一个物体看成是静止或保持匀速直线运动的非惯性参照系看来，就一定存在方向相反的惯性力同时作用在物体上，这个惯性力的效果是试图使得物体回到作惯性运动的状态中去。

再举一个惯性力的例子。当我们坐电梯加速上升时，会感觉有一个向下的压力作用在自己身上，这同样是一个惯性力，因为我们作为观察者是在一个具有加速度的非惯性参照系里作观察，我们受到了真实的向上的牵引力的作用，同时我们相对于电梯是静止的，而我们向下的重力又不足以抵消牵引力，（否则，我们就不可能上升。）这时牛顿运动定律要求我们引入一个额外的向下的压力。对于在楼道里静止的观察者来说，电梯里的人只是受到一个向上的牵引力和自身的重力，而并没有一个额外的向下的压力作用在身上。

我们看到，一旦观察者进入非惯性参照系，就必须引入惯性力，才能继续应用牛顿运动定律，而只要我们离开了非惯性参照系，就能消除惯性力，可见惯性力和我们一般意义下的真实的物理作用力，例如万有引力，电磁力，是本质不同的。因为真实的物理作用力是不可能通过变换参照系而消除的。

在非惯性参照系里处理问题，我们应该注意以下几点：

（1） 在非惯性参照系里应用牛顿运动定律的关键，是找到正确的惯性力表达式。这可以通过在一个方便的惯性参照系里，观察那个非惯性参照系里物体的加速运动，求出导致其作加速运动的力的表达式，再反过来就可以求出相对应的惯性力。

（2） 引入惯性力后，在非惯性参照系里应用牛顿第一定律，就变成了把包括惯性力在内的所有外力加起来为0的话，物体相对于那个非惯性参照系保持匀速直线运动，或静止。

（3） 应用第二定律，就变成了物体相对于那个非惯性参照系的加速度，由包括惯性力在内的所有外力所产生。

（4） 至于第三运动定律，由于惯性力并非外界对物体施加的真实作用力，因此也就不存在惯性力的反作用力。因此在非惯性参照系里，第三运动定律对惯性力不适用。

开普勒定律和万有引力定律

有了研究圆周运动的经验，我们就可以依照同样的思路，来从属于运动学定律的开普勒定律出发，讨论万有引力定律。

早期物理学的最辉煌的工作就是开普勒的三大定律，在牛顿运动定律被发现之前，人们对于运动所能作的最好的研究工作就是尽可能详尽地记录运动的轨迹，以求写出其运动方程。开普勒竭尽一生的精力归纳出太阳系行星运动的三条定律，由这三条定律，可以计算从一个初始位置起，行星在任何时候的位置。

首先，第一条定律是轨道定律，也就是说给出行星运动轨道的几何形状：

所有的行星的运动轨道都是一个椭圆，并且以太阳作为这个椭圆的一个焦点。

第二条定律是面积定律，它实际上是给出了每个行星在轨道上运行时，随它在椭圆上的位置的变化而发生的速度的变化规律：

行星和太阳的连线在相同的时间内扫过相同的面积。

这样，由第一和第二定律，就可以对每一个行星写出它的运动方程，尽管我们还不知到对每一个行星而言的椭圆的大小，以及行星在某一点的初始速度，也就是说初始条件。

第三条定律是周期定律。给出了每一个行星由其轨道椭圆的大小所决定的周期的大小：

任何行星周期的平方正比于它的轨道椭圆的半长轴的立方。

这实际上就是给出了上面所说的两个初始条件之间的关系，也就是说，结合上面的两条定律，由行星的轨道椭圆的大小就可以决定其在椭圆上任一点的速度。因此对于实际的太阳系的行星的运动情况，我们只需要通过观察得到每一个行星离太阳的最短（或最长）距离，就可以求出行星从一个初始时刻起，任意时刻的位置。而这正是进行天文学预测所需要的。

开普勒通过对历年记录下来的观测数据进行归纳，而得到了上面非常简练的定律，但毕竟只是一种纯粹的用数学公式来拟合时间与位置数据，而并不能说明行星这么运动的原因，而且除了应用于太阳系的这些行星以外，没有一般的规律可以应用于别的天体。

给出行星运动背后的物理原因是由牛顿完成的。牛顿根据他自己发现的运动定律，应用微积分的方法，特别是几何的方法，得到了一般的万有引力定律：

两个有质量的物体之间总存在着吸引力，吸引力的大小同时和这两个物体的质量成正比，和这两个物体的质心的距离的平方成反比。吸引力的方向同时通过这两个物体的质心。

写成数学表达式就是：

F=Gm₁m₂/r²。

其中F为质量分别为m₁和m₂的两个物体之间的万有引力，r为它们的质心之间的距离。

我们看到，牛顿按照运动定律所揭示的一般思路，从太阳系行星的运动学描述推动出动力学方程，并从中抽象出一种一般的，自然界的基本作用力来，可以说是牛顿力学最伟大的胜利。我们下面所要进行的应用运动定律来解决实际问题，正是同样遵循这一条思路。

单位制和量纲。

我们进行物理测量所得到的测量结果，一般说来总是有一个数值，还有一个单位。不同的物理量就有不同的单位，由于不同的物理量之间通过一定的物理规律而相互联系，因此很多物理量可以由别的物理量通过由一定的物理规律而规定的运算而得到。这样我们就有可能挑选出几种最基本的物理量的单位，作为基本单位，而其他的物理量的单位作为导出单位，就可以由这些基本单位的运算组合而得到。这就是建立单位制的基本思想。

力的相互作用性质。

不妨稍微分析一下牛顿的三条运动定律，第一和第二定律所针对的是单独一个对象的运动属性，这个对象受到外部的作用，从而在它的运动中得到表现，至于这个作用同时对外部有何影响，是不去考虑的。也就是说，第一和第二定律不涉及力本身的一个重要属性，就是它的相互作用的性质，力的这个属性是由牛顿第三定律来说明的。这也是第三定律和前两条定律很不一样的地方。

我们还应该注意的是，牛顿第三运动定律的适用范围比前两条定律的适用范围要小。今后我们会看到，对于一些非接触力，如一些情形下的电磁作用，牛顿第三定律不能适用，也就是说，力不再具有这种属性。

实际上，我们在前面的讨论中，就有意地总是说明力的相互作用性质。初学者常常养成一个不好的思维习惯，就是一提到力，就只是想到被这个力作用的物体的状态，而不能同时考虑到施加这个力的物体的状态，在很多情况下，我们可能并不需要考虑到施加作用力的物体的状况，但是在许多的实际问题中，我们面对的是一个物体，或者说质点的系统，这些质点之间都存在着相互作用，这时我们就不得不根据力的相互作用的属性来考虑整个系统的力学状况了。

动量守恒定律。动量。

下面我们推导一下动量守恒定律，以加深对动量所刻划的物理性质的理解。并且我们开始接触到守恒量这个极其重要的物理概念。

对于我们所观察到的自然现象，在经典力学里所持的基本态度就是，把我们所认为应该作为一个实体的对象，从它的外部环境中抽象出来，然后我们再分别考虑对象和它的外部环境之间的相互作用，以及对象在这种作用下的所受的影响。对于相互作用，我们总是试图把它们统一地归结为力的概念。

那么力的作用又导致了什么呢？牛顿第二运动定律说是导致了物体运动速度的变化。力的大小决定了速度变化率的大小。然而，我们知道当力的大小唯一确定了以后，它所决定的物体的速度变化率的大小却还不能唯一确定。一个确定大小的力要决定一个物体的速度变化率有多大，还必须取决于物体本身的一个属性-质量。那么与作用力对应的物体的完全由外部作用力决定的物体的属性又是什么呢？从这样一个角度来理解牛顿第二定律，我们就得到了一个与外部作用力对应的反映物体运动属性的新的物理概念-动量。

我们看牛顿第二定律的表述，实际上还可以这样理解：

F=ma=mdV/dt

=d（mV）/dt。

也就是说，只要对一个物体产生力的作用，一个确定的力就决定了一个确定的物理量mV的时间变化率。这个物理量是完全刻划了作用力的全部效果的。这个效果是作用力的一个对应物，也可以说是作用力的另一种表述，而且这种表述使用起来比作用力更为方便。因为对于一个相互之间存在作用力的粒子系统，如果除了粒子之间的相互作用力以外，再也没有别的作用力与这个系统有关，那么由牛顿第三定律可以知道，每两个粒子之间的相互作用就意味着同时存在一对作用力，它们大小相等，方向相反，但对这两个力却不能作更进一步的运算，因为它们是作用在不同的两个物体上的力，那么我们就不能更进一步的说明牛顿第三定律对于这样一个粒子系统究竟意味着什么。

但如果我们考虑作用力的另一种刻划，也就是动量的变化率，那么由于我们可以把动量看成物体的运动属性，一个系统的各个物体的动量可以按矢量加法的法则加起来，作为整个系统的总动量，则这个系统所有的作用力的效果总和就可以用这个总动量的时间变化率来刻划。这样一个自然的思路就导致了动量守恒定律的发现。

我们只需取两个粒子组成的系统作为例子即可。

设有粒子1和粒子2，F₁₂为粒子1对粒子2的作用力，F₂₁是粒子2对粒子1的作用力，根据牛顿第三定律，这两个力互为作用与反作用力，在这两个力的作用下的粒子1和粒子2分别产生了速度的变化，即

F₁₂=m₂dv₂/dt，

F₂₁= m₁dv₁/dt，

根据牛顿第三定律，我们有

F₂₁=- F₂₁

也就是

m₂dv₂/dt=-m₁dv₁/dt，

换一个写法就是

d(m₂v₂+m₁v₁)/dt=0

我们不妨定义

P =m₂v₂+m₁v₁

这就得到了

dP/dt=0。

我们看到这样定义的P是一个不变量，它刻划了对系统有作用的所有作用力的效果总和，而这不是单纯的速度概念所能表征的。

初学者可能不容易理解一个守恒量会有多大的意义，象这样只在组成系统的各个粒子之间存在相互作用，系统的外部不对系统发生作用，或者作用力的总和为0，给出描述这样一个系统的守恒量，实际上是为我们分析复杂的多粒子系统，提供了非常深刻的洞察力：

（1）如果我们把组成系统的各个粒子之间的相互作用力称为内力，那么只要系统外部对系统的作用为0，则无论内力是什么来源或属性，系统的总动量都守恒。

（2）无论内力发生什么样的变化，都不影响系统总动量。这使得我们对多粒子系统的理解和分析都大为简化。

（3）正是因为所有内力的总效果为系统总动量的变化率为0，那么一旦要是同时给系统加上外力，那么这时系统总动量的变化率反映的就只是外力的效果了。这就为我们对于多粒子系统抽象出质心的概念提供了物理基础。正是质心的概念极大地简化了我们对多粒子系统的研究。

后面我们再讨论这点。

冲量。动量定理。

我们知道，物体在力的作用之下，将会随时间而发生动量的改变，这就是说，作用时间的长短决定了动量改变的大小。这样我们就得到了冲量的概念。

对于一个受到作用力为F的物体，我们已经得到：

F= dP/dt，

这就是说：

P₂-P₁= Fdt

其中Fdt就被称为物体在从时刻t₁到时刻t₂所受到的冲量，如果力在作用期间保持不变，那么冲量就可以写成F（t₂-t₁）。

可以看到，冲量的意思就是度量物体在受到一定时间的力的作用后动量的改变量。

上面的公式也被称为动量定理。

质心。

我们已经指出，一个孤立系统的总动量的变化率可以反映外部对这个系统的作用力的效果，这就提示我们可以把整个系统想象成一个质点，然后外部对这个系统的作用力就可以看成是作用在这个虚拟的质点上，这个虚拟的质点的动量的变化率就可以看成是外部作用力的效果。按照这种对质点系统的理解，我们可以得到一个非常有用的概念，即质心。

不失一般性，我们不妨假设孤立系统由两个粒子组成，质量分别为m₁，m₂，位置矢量分别为r₁，r₂，那么这个系统在其内力作用下的总动量的变化率为0。就是说

dP/dt=0

我们写出P的表达式：

P=m₁dr₁/dt+m₂dr₂/dt

=（m₁+m₂）

=（m₁+m₂）dr_c/dt。

其中我们定义r_c=，

这是一个位置矢量，我们把这一个点赋予质量m₁+m₂，就得到了我们所设想的虚拟质点。

再仔细分析一下质心位置矢量的表达式，我们可以看到质心的位置实际上就是对每一个系统的真实质点，在它的位置上根据其质量的大小进行加权，然后平均起来，得到的是整个系统的以质量为权重的加权平均位置。

我们对上面的总动量表达式对时间求导，就可以得到质心的加速度的值为0。这是质心概念之所以有用的所在，因为孤立系统没有受到外力的作用，就直接反映为系统质心的动量为0，而且加速度也为0，同时，我们可以不用管组成这个系统的各个质点的相互作用是如何强烈，各个质点的相互运动又是如何剧烈。（实际上我们要把上面两个质点的系统的公式推导到任意多个质点的系统，并没有任何困难。如图所示。）

我们考虑了整个系统不受外力的情形，进一步，还可以考虑整个系统作为一个整体受到外力作用时，会表现为对质心由什么效果。仍然以上面的两个粒子的系统为例，我们对质心应用牛顿第二定律，可以看到质心所受到的合力等于组成系统的所有粒子所受到的所有作用力的总和，而系统内部粒子之间的相互作用力，也就是内力都是成对出现，因此也就最终消去，只剩下系统所受到的外力，这也就是说，当孤立系统受到外力的情况下，外力对系统的作用效果可以完全用外力作用在质心上来刻划。这就是所谓的质心定律。本课程不作要求，但我们能接受这点是非常有助于解决实际问题的。

至此我们可以看到质心概念是我们研究多粒子系统问题的关键所在。

在第一章我们处理行星环绕太阳运动的问题时，曾经指出，行星和太阳实际上是围绕它们公共的质心作椭圆运动的，这里我们应该把行星和太阳看成是一个系统。那么当我们往由一个行星与太阳的系统里再添加一个行星时，就可以看成是由这个行星与前面系统的质心开始有了相互作用，这样看问题就简化了处理方法。

我们在后面的例题分析中，将详细说明处理粒子系统问题的关键在于小心地划分系统内部与系统外部的界限，如果界限选择不当，往往反而增加处理问题的难度，并且容易出错。

动能。势能。功。机械能守恒。

对于物体的运动，我们已经学习了一系列的物理量，可以用来刻划物体的运动特征和运动属性，需要认识到，一些基本的物理量并不是一种可以相互推导，相互代替的关系，比如说速度，力，加速度，动量，质量。

我们在讨论单位制的时候会发现，力学物理量可以只由三个基本物理量完全表示出来，然而初学者往往从这里得到一个错误印象，认为其它物理量就完全可以从这三个物理量推导出来，实际上，单位制的实现依赖的是那些来自我们的经验的物理规律，而我们的不同经验并不是可以相互替代的。现在我们就要学习一个完全新的物理量，它来自于我们对于运动的一种完全不同的经验，或者说看法。它也是完全独立于我们在上面提到的那些概念。这就是能量的观念。

能量的观念是一个贯穿了整个物理学的观念，也实际上贯穿了我们对整个大自然的观察和思考。对于能量究竟是什么的问题，可能和物质究竟是什么的问题一样，并不是我们需要在物理学里来提的问题。对于物理学来说，真正有意义的是发现了一种可以计算出来的守恒量，它在一个确定的运动系统或运动过程中，是保持不变的。从我们应用动量守恒定律所得到的经验可以知道，得到了一个系统的守恒量，总是能极大地简化我们对系统的处理，并能使得我们能更加有力地处理物理量发生了变化的情形，因为我们知道什么条件下是一个物理量是守恒的了，也就知道了当发现这个物理量不守恒了的时候，就必定是什么事情发生了。

例如对于动量守恒的情况来说，如果一个对象的动量发生了变化，我们就知道一定是别的物体对它施加了冲量。

同样当我们发现在一个明确的条件下，能量是守恒的时候，我们对于自然对象的理解和掌握又多了一个窗口。

从历史上来看，我们对于能量的了解正是从机械运动中表现出来的动能与势能开始的。

在很多的教材中，往往是把牛顿第二定律里的速度对时间积分，然后用位移变量代替时间变量，从而推导出动能定律，也就同时定义了动能和功的概念，这么做是无可厚非的，因为历史上本来就是从应用牛顿第二定律的过程中发现动能这个概念的，然而对于初学者，非常容易产生误解，以为能量的概念完全就是从力的概念里推导出来的。特别是对于自学者来说，缺乏与老师进行交流的机会，更加难以理解清楚。因此我们在这里不惜篇幅地反复说明能量概念的独立性质。

在这里，我们不妨以一个比较自然的，合乎经验的方式来理解动能，势能，功和机械能守恒这些观念。

考虑一些在具有明确而保持不变的受力情形下的运动现象。比方说一个简单的线摆，如图所示：

重物在对称的最高点A和C之间来回摆动，在没有外界干扰，例如空气的作用，可以想象这个摆将长久地重复摆动下去，因为重物的受力状况示很明确而且不变的，那么我们希望有一个物理量能直接地描述重物的这个保持某种守恒的运动属性。

首先，由于重物的运动轨迹为一段曲线，按一般的处理方法，依据运动迭加原理，我们总是把这种平面上的曲线运动，分解为两个方向上的比较容易处理的运动，在这里，我们把重物的运动分解为水平方向和垂直方向上的运动。

我们现在来观测重物的运动学特征。可以看到，在水平方向上，重物在两个端点A和C点处的速度为0。在轨迹的中间点，也就是重物在垂直方向上的最低点B，重物的速度达到最大，而这个速度的方向为水平的。在垂直方向上，重物在最高点A，C和最低点B之间来回振荡，在这三点上的速度都是0。

我们再分析重物的受力情况。显然，重物只受到两个力的作用。一个是垂直向下的重力，这个力是一直保持不变的。另一个是绳对重物的拉力，这个拉力总是与重物的运动轨迹保持垂直，因此我们知道，这个力对重物所产生的效果，就只是改变重物运动速度的方向，而不会改变重物运动速度的大小。

那么改变重物运动速度大小的就只有垂直向下的重力了。

我们不妨再考虑重物如果只在重力作用下，在A或C点到B点的垂直位置之间的运动会是什么状况。根据前面所学到的自由落体运动的知识，设重物从A或C点的高度落到B点的高度，速度将从0达到v，那么重物所经过的高度差H为

H=v²/2g （1）

再看我们的问题中，只有重力改变速度的大小，拉力只改变速度的方向，那么可以这样来计算出重物在B点的水平速度，

设摆线与垂直方向的偏角为k，那么在重物运动方向上的受力为mgSink，也就是说，在运动方向上的加速度为gSink，根据加速度的定义，应用微积分中的微元法的思路，我们可以得到重物在运动过程中的速度微元为：

gSink·dk，

因此对摆线的偏角取积分，就得到了重物在B点处的速度，为

。

实际上就是v，而之所以方向为水平，是因为拉力作用的缘故。

因此我们可以把这个问题，等价于重物从A或C点的高度，以速度0自由下落，到达B点的高度时速度为v。然后再以速度v垂直向上抛出，正好到达A或C点的高度时，速度为0，就这样往返运动。

记住我们分析这个问题的原因，是因为这个运动过程表现出了某种守恒性质。那么怎样找到这里面的守恒的物理量呢？我们看到在这个运动设施中，关键的特征量是高度差H，最大速度v，和重物的重量mg，上面的表达式（1）中有H和v，没有mg，那么我们不妨尝试用mg同时乘（1）的两边，得到

mgH=mv²/2。

从这个表达式我们能看出什么来呢？左边的量同时和物体所受到的作用力-重力与高度成正比，右边和物体的质量与运动速度有关。我们可以认为这两个量是对重物在两个不同时刻的力学状态的完备的而且是不同侧面的描述。

左边的量从受力的角度刻画了重物在A或C点的运动状况：（1）重物受到改变其速度大小的力mg，（2）从本质上来看，重物受力mg的缘故是由于它的位置，而对于重力mg来说，重物在此时的位置，相对于其在另外时刻的位置的差异，是由垂直高度差H来表征的。

右边的量从运动学的角度刻划了重物在B点的运动状态：（1）重物的质量m，我们知道这是度量物体运动的惯性大小的。（2）重物的速度，这是描述物体运动的基本物理量。

由此启发我们，这个等式表达了在重物的运动过程中，两边所代表的物理量是保持不变的。如果我们考虑更多的运动情形，会发现类似的等式，这表明这个等式所表达的是一个一般的物理原理。我们称这个保持守恒的物理量为能量，而具体到上面的问题里，表征物体受力状态与位置的能量，被称为势能，表征物体运动学状态的能量被称为动能，而上面的分析过程也表明，能量只是一个标量，因为我们只考虑了重物因为受力而导致速度大小发生变化这么一件事。

实际上我们还可以从另一个角度理解上面等式的左边的量，即考虑物体受力的作用的效果时，可以用这个力沿着它的方向使得物体移动了多远来衡量。我们把一个力F作用于一个物体，使得这个物体在力的方向上移动了距离s，注意，不是位移矢量。那么我们就把F×s定义为这个力对物体所作的功。而力对物体作功导致物体的动能发生变化就称为动能定律。

这种衡量方法完全不同于上节所讨论的动量的变化。同样是为了衡量作用力的效果，但一个是从速度大小的改变这个方面来衡量的，因此是一个标量；另一个是动量的变化这个方面来衡量的，因此是一个矢量。因此从对物体的运动状况的描述上来说，动能和动量是完全相互独立的两个物理量，描述了物体运动的两个不同方面的属性。

进一步我们从守恒的角度来讨论一下能量与动量的差别。

（一）对于能量来说，能量的守恒总要涉及到不同能量形式之间的变换，因此我们需要先找到各自形式的能量的计算方法，然后得到作为一个纯粹数量的能量变化值，只有把一个系统的所有形式的能量变化在数量上加起来，才能得到守恒的结果。因此在具体的实际系统中，能量守恒的范畴是和这个系统力的相互作用性质，以及这个系统和外界的关系都相关的。在一个力学系统里，只有不计入摩擦力一类的非保守力时，才有机械能守恒定律成立。一旦系统的运动条件发生了变化，就需要考虑这个系统是否发生了新的能量变化方式。

而对于动量来说，动量守恒定律的成立并不需要考虑系统中的相互作用的具体形式是什么，动量守恒只是纯粹在力学的层面来刻划系统的守恒性质。因此无论相互作用的性质是什么，不管是否保守力，动量守恒总是成立。

当然并不是说动量守恒定律的应用范围就要比能量守恒定律的应用范围广泛，这两个守恒定律是相互独立的物理规律，它们成立时要求系统所遵循的条件是不一样的。

（二）对于能量来说，能量守恒的系统必须与外界没有能量的交换，也就是说，（1）当外力对系统没有作功，或者是作功为0；（2）外界环境与系统没有别的能量交换形式，比如说热，电磁作用等等，系统的能量才可能是守恒的，这里并不是说不能有外界对系统有力的作用。

而对于动量来说，只要外界对系统的作用力不是0，系统的总动量就会发生变化。而只要外界环境对系统没有力的作用，不管还有什么形式的能量交换，都不影响系统的动量保持守恒。

由此我们可以体会到能量守恒与动量守恒的本质不同。

（三）当然这两者的差别还表现在一个是矢量，一个是标量，因此能量的守恒就只是一个数值的守恒，而动量的守恒，却表现为动量的各个分量都守恒，即在动量的各个分量方向上都有动量大小的守恒。

（四）最后我们还可以说，在经典力学的范畴内，动量守恒定律是等价于牛顿第三定律的。而机械能守恒定律只对保守力系统有效。

这两条守恒定律实际上贯穿了整个物理学，在我们分析具体问题时，总是可以从这两条定律所指导的方向入手，在后面的例题分析里，我们将着重讨论两条守恒定律的应用。这里我们重点讨论一下这两条守恒定律在碰撞问题中的应用。

碰撞。

碰撞现象不仅在宏观现象中广泛存在，在我们对微观粒子的研究中，更是主要以碰撞现象为主，因为对于微观粒子，我们主要是通过人为的碰撞来观测粒子的物理属性。

对于碰撞问题，最关键的是充分运用质心的概念。因为质心的概念实际上是动量守恒定律的直接推论。

首先我们一般的考虑两个小球的完全弹性碰撞的问题。

设质量分别为m₁，m₂的两个小球作完全弹性碰撞，碰撞前，它们的速度分别为v₁，v₂，碰撞后速度分别为v₁`，v₂`

对于这样两个小球组成的系统，在不考虑环境的作用时，当然是满足动量守恒定律的条件的，实际问题中，即使存在一些小的环境扰动，和小球之间的撞击冲量相比，也是可以忽略的。

然后，对于完全弹性碰撞，我们总是理解为遵循能量守恒定律的碰撞。

那么我们马上就有了描述这个系统的两个方程：

m₁v₁+m₂v₂= m₁v₁`+m₂v₂`

m₁v₁²+m₂v₂²= m₁v₁`²+m₂v₂`²。

由此就可以得到一般解：

v₁`=[ v₁（m₁-m₂）+2 v₂ m₂]/（m₁+m₂）

v₂`= [ v₂（m₂-m₁）+2v₁m₁]/（m₁+m₂）。

这个一般解过于繁复，我们可以在实际的具体问题中进行具体分析，往往能很简单的解决问题。后面的例题里，我们将强调不要死套公式，而是在充分的物理考虑之后，再寻求简单方法。

这里我们暂时只考虑几种简单的典型情况，以揭示一些重要的思想方法。更多的情形在后面的例题里讨论。

（一）两个质量相等的小球以相同大小的速度在一维上相对完全弹性碰撞。

这个系统的质心根据所给条件，在碰撞前当然是静止的。那么在碰撞后也必定是静止的。由于它们的质量一样，因此它们的速度大小也是一样。再根据它们发生碰撞时的相互作用力的方向，可以知道它们将在碰撞后逆向回弹。

同学们不要因为这个问题非常简单直观，就不去仔细考虑碰撞过程的物理图象，实际上越是简单的问题往往越是能体现一些深刻的观念，在我们考虑的这种情形里，可以看到极为丰富的对称性。不光是空间运动的对称性，还有运动过程的时间反演对称性，而这两种对称性正是动量守恒定律和能量守恒定律的根本来源。

（二）两个质量相同的小球一个静止，另一个以一定速度对它作完全弹性碰撞（一维情形）。

1．根据质心的位置矢量的定义，我们知道这时质心是在作匀速质心运动。

2．同样由于系统总动量不变，碰撞前后，质心的匀速直线运动状态也是不变的。

3．根据对称性的考虑，我们可以直接知道两个小球将交换运动状态。

（三）两个质量相同的小球一个静止，另一个以一定速度对它作完全弹性碰撞（二维情形）。

1．根据质心的位置矢量的定义，我们知道这时质心是在作匀速质心运动。

2．上面的一般解简化为

v₁= v₁`+v₂`

v₁²= v₁`²+v₂`²。

第一个矢量和公式表明三个速度矢量构成一个三角形。第二个标量公式表明这个三角形为直角三角形。其中两个出射速度矢量相互垂直。

这是一个很重要的结论。特别是可以应用于高能粒子的碰撞实验中，因为出射粒子的径迹如果是垂直的话，就说明这是一个完全弹性碰撞。而这有非常重要的观测意义的。

二，疑难

1.作用力与反作用力是否可以相互抵消？作用力和反作用力是否可以属于不同性质的力？

答：作用力和反作用力是分别作用在不同物体上的力，不能够相互抵消，力的合成只能对作用在同一个作用点上的力进行。

作用力和反作用力肯定只能是属于同一个性质的力，因为作用力与反作用力是对处于一种相互作用的两个物体的相对作用而言的，那么这个相互作用针对不同的物体就构成了作用力与反作用力，因此它们是同一个相互作用的两个不同方向的描述。

2.牛顿第二定律中的比例系数为什么是1，并且没有量纲？

答：在牛顿第二定律中，如果我们取定了质量和加速度的单位，那么我们就可以说，一个单位的质量以一个单位的加速度运动时，作用于它的力的单位就可以定义为一个单位。我们之所以可以这么说，是因为根据牛顿第二定律，力完全由质量和加速度决定，并且这个定义实际上就定义了力，因此比例系数是可以任意取定的，而之所以没有量纲，也就是因此而来的。

我们在物理学中，常常会遇见这种情况，即通过适当地选择单位，可以使得比例系数为1，从而简化我们的计算。

3.在非惯性参照系里，牛顿第二定律是否不成立？

答：不对,在非惯性参照系里牛顿第二定律仍然成立,不过由于惯性的存在，使得在非惯性参照系里，可以观察到任何物体都受到一个与使得这个参照系作非惯性运动的作用力相反方向，大小相等的惯性力，因此只要在这个非惯性参照系里，把所有的依据牛顿第二定律写成的运动方程都加上惯性力这一项，就可以使得牛顿第二运动定律仍然成立。

4．“一个孤立物体有可能具有势能“的说法正确吗？

答：不正确.势能在定义上是由物体在空间中的位置决定的。那么一个物体如果不与任何其他物体存在相互作用，则它所在的空间位置也不会对它产生作用，自然也就不可能存在势能。

5．“合外力为0是机械能守恒的必要条件“的说法正确吗？

答：不正确。

因为一个系统的机械能与外界发生交换的形式不是只有作功一种形式，还存在比方说传递热量这种形式，因此合外力为0，只是表明系统与外界没有作功的相互作用，而没有说明不存在任何其他的能量交换形式。所以是不正确的。比方说，一个系统内部存在摩擦作用，那么它的机械能必定会转化为热能，从而导致系统的机械能不守恒。