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无限

顺序的完备性要求构造实数

一个例子:

[tex]$n [tex]$1+\frac{1}{n+1}<1+\frac{1}{n};$[/tex]
[tex]$(1+\frac{1}{n})^{n}<(1+\frac{1}{n+1})^{n+1};$[/tex]
[tex]$(1+\frac{1}{n})^{n}<3;$[/tex]
问题: 在有理数的集合里面,当[tex]n$\rightarrow\infty,$[/tex]那么[tex]$(1+\frac{1}{n})^{n}$[/tex]意味着什么?

设[tex]$x_{n}=(1+\frac{1}{n})^{n}$[/tex], 并假设[tex]$x_{\infty}=\frac{p}{q}$[/tex],
那么我们可以说[tex]$x_{1}

但是, [tex]$x_{\infty}\neq\frac{p}{q}$[/tex]

[tex]$$x_{n}=1^{n}+...+\frac{1}{n^{n}}[/tex]
[tex]=1+1+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n}...$$[/tex]

无限集的计数

无限的存在,大概是人的第一个惊奇。数数给我们的经验是,计数不是最终目的,明确地描述行为本身才是目的。
描述所需要面临的第一个问题是获得对象,最基本的对象观念,就是集合。
描述“加1”背后的集合,就获得了人类的第一个数学对象-自然数集合。

关于无限的第二个惊奇,是发现哪怕是运用自然数,即可找到不同于自然数的其他无限形式,“日取其半,以至于无穷”,还好,我们可以使用集合观念来把握那样的无限:

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