文章与日志

无限的存在，大概是人的第一个惊奇。数数给我们的经验是，计数不是最终目的，明确地描述行为本身才是目的。
描述所需要面临的第一个问题是获得对象，最基本的对象观念，就是集合。
描述“加1”背后的集合，就获得了人类的第一个数学对象-自然数集合。

关于无限的第二个惊奇，是发现哪怕是运用自然数，即可找到不同于自然数的其他无限形式，“日取其半，以至于无穷”，还好，我们可以使用集合观念来把握那样的无限：
假设“日取其半，取之不竭”，即在一个集合A里面去取子集的操作，如果重复可数无限次，总还是存在非空的子集。这个操作本身表明A的元素是不可能用自然数一一对应标记的。
（假设A中的元素是可以与自然数一一对应的，那么只是采取日取其半的方法，去掉包含某个自然数对应元素的那一半，即去掉所有用自然数标记了的元素所在的那一半之后，总还是剩下一个A的非空子集，即可在A里面找到无法用某个自然数对应的元素。）
无限的形式变了，但一一对应的计数原则仍然可以保留，实际上，如果A与B一一对应，A与C不能一一对应，那么我们总是发现B也与C不能一一对应。这个事实保证着这个计数原则的有效性，也由此可以依据计数性质来对集合分类。
分析正是需要在一个计数性质明确的集合上进行，至于该集合如何具体实现其计数性质，则应该不是分析学的主题。

[接下来的问题是，自然数是一个现成的具体实现了的集合，通过与之进行一一对应操作，可以确定与之等势的其他集合，例如有理数，然后可找到另外与之不等势的无限集合，例如实数，无理数，代数数，超越数等实现例子，则属于同一类，显然自然数的势小于实数的势，那么：
1，是否存在势介于上述两者之间的集合？
2，势大于实数的集合是否存在，以及如何实现？
同样我们把上面的问题留给集合的理论，下面只是讨论一般分析的方法。]

一个集合的计数性质可以通过子集来构造。实际上，如果构造集合A的所有子集的集合A，则该集合的势比A大，而且不存在势介于A与A之间的集合。这样一个事实使得我们可以经由A的子集的构造来描述A的计数性质，这就是所谓子集的代数。