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1.从电磁理论到规范的概念

描述电荷在电磁场当中的运动时,该电荷所有的电磁效应都由相位决定.运用一个单位复数量可以恰当地表述相位.该单位复量乘在电荷波函数前即可.
对于一个电荷,相位不能绝对取值,只能取其两个不同运动状态下的相位差.
一个单位复量本身就是一个群,称为U(1)群.而该群上面的相位差同样构成U(1)群.
由于U(1)群的元素是可以具体取值的,因此进一步用U(1)torsor来描述电荷相位的取值集合.U(1) torsor的一个元素并不对应U(1) 的某个元素,但是U(1)torsor当中两个元素之相位差对应着U(1)的一个元素.
电磁理论的基本图景,即电磁时空的每一点皆可用一个U(1)torsor描述.
由此,电磁理论的基本数学结构就是一束U(1)torsor,或称为基本U(1)丛.

至此,这一整套描述手续,也可以尝试运用于其他相互作用,而不是只能局限于电磁作用.
大体的做法就是:
取一个群G,这个群可以用来描述针对某个基本作用量的变换性质;
然后在时空构造相应的基本G丛,而时空本身可以自然地作为流形M.
在流形M上建立基本G丛实际上就是等于在M的每一点上赋予一个G-torsor,然后该G-torsor任意两个元素的差对应于G的一个元素.

在这样一个数学框架之下,所谓相互作用,就是时空当中两个分别的粒子事件之间的一个映射,也可以说是M的基本G丛上的一个联络.

符号约定:如果取流形M上的基本G丛为B,那么对于M的某点x,B(x)表示基本G丛B在点x的取值,为该点处的G-torsor.

2.从基本G丛到G-gerbes

对于M当中的两个粒子事件x和y,它们之间的相互作用关联用F表示

ref: John Baez