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数学

几何

几何作为一类问题的解决方案,最早是从一个基本的物理对象上抽象出来的,即物理空间。这个抽象行为相当成功,2千多年前即得到了欧几里德几何学。
不过这个抽象对象-空间,具有多方面的特性,可以予以推广,从而切合更广泛问题的研究。
例1,把空间视作齐性对象或现象的集合,如果再加上该集合元素的连续性结构,设定好度量方法,就得到了Riemann空间,从而将之用于更为复杂的物理对象,例如相对论时空。

微分与积分

微分与积分的初始模型非常简单而直观,直接来自我们的操作行为。

微分与积分的直观基础

微积分基本定律

微分学

积分学

函数与方程

函数一开始就精确地表达了因果律,而因果律是我们所谓科学的基本形式,这就使得函数成为数学一开始就紧盯的基本对象。

数数的技术

要明确一个对象,最原始的方式,就是数数,而最原始的数数技术,其实就是符号记录。
【例】:
牧人发出一列 “a、ai、u、e、...”的声音,用来标记他所看到的自己羊圈里面的羊。

但,这种符号记录,已经意味着第一层抽象的开始:他可以籍由这个符号记录,而获知今天是否全部的羊都已回笼,或者,获知自己的羊与隔壁老张的羊相比,是多些,还是少些。因此,这样一种符号记录方法,相比只是给自己的每一只羊一个唯一的名字(命名),要具有更高一级的抽象,也因此,这样一个技术,具有更强的功能。

古希腊数学

几何化

古希腊四大学科:
反射光学
静力学
浮体力学
天文学
都是采用几何化方式予以理解和解决问题。

【例1】
地月与地球太阳距离比
地球半径
【例2】
阿基米德采用切薄片的方式来解决关于面积、体积、重心相关几何问题。

牛顿的微积分

牛顿所学习的微积分主要来自J.Wallis的《Arithmetica Infinitorum》(无穷算术)和笛卡尔的《几何学》。
而他的微积分研究主要是源于力学研究的需求,其力学研究则最初是受到I.Barrow所讲授的运动学课程的激发。

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