前言

逻辑的观念，在人类认知历史很早期就开始有自觉的，这种自觉有力地辅助了人类思维能力的进步。到二十世纪初数理逻辑构成数学基础的一个部门来讨论的时候，逐渐澄清了一个部分的人类认知任务的机械属性，从而导致20世纪最伟大的工具-计算机的发明。
我这里试图以一个认知结构发育的角度，来重新讲述数理逻辑的故事，作为前面讨论人类进化遗产的一个章节。

怎么说话？不是一个小问题，而是一个大问题。

1.1首先看，我们说的话，一般包括哪些话。

儿童说话，起先是自己感觉和意图的表述，例如：

我饿了
我要喝水

面对一群羊，我们似乎有两个理解并把握这群羊的方式：
１，给每只羊起一个名字，并因为某个个性特征而永远不会把名字给搞混淆了，那么我们晚上把羊赶回羊圈时，可以站在门口，一只一只地把回来的羊与记忆当中的那些具有个性特征的羊对上号，最后，我们可以知道，是不是丢失了羊；
２，数数，记住这群羊一共有多少只，然后在羊圈里面，再点一次数，就知道是不是丢失了羊。

Basic Notions of Manifold

When we mention Euclid space, maybe it induct excess meanings. So,
we can try to construct an object that its meaning is less than
Euclid space but however, is meaningful and analyzable.

At least, we need some points, then, if we want a point is
analyzable, it must has its neighborhood, moreover, to make it
computable or realizable, let its neighborhood homeomorphism with
an open set of Euclid space.

Such points constitutes a set, then make this set is a separated
set, a Hausdorff set, we definite such a set a manifold.

The point `x\in M`, M is a manifold. U is a neighborhood of x, and
there is a homeomorphism `\phi:U\mapsto \phi(U)`. then, Any such a
$(U,\phi(U))$ means a realization of any point of U: $\phi(y)$ is

最基本的代数观念-模,源于我们数数的方法.

一个最原始，或者说最自然的标记方法: 自然映射，可以叙述为
[tex]a\equiv b(mod c)[/tex]
也可以叙述为:
[tex]$modc:a\mapsto b$[/tex]
基于这个映射做如下运算是不变的:
如果[tex]$modc:x\mapsto b; modc: y\mapsto d;$[/tex]
那么[tex]$mod c: x\pm y\mapsto b\pm d;$[/tex]
[tex]$modc: xy\mapsto bd.$[/tex]

=>任何多项式在此映射下是不变的.

模的观念=>素数.

Fermat Theorem:[tex]$a^{p-1}-1\equiv0(mod p)$[/tex]

Euler Theorem:[tex]$a^{k}-1\equiv0(mod b)$[/tex]

所以有人说，上帝创造了自然数，然后其他一切都是人为的：）

一个例子:

[tex]$n [tex]$1+\frac{1}{n+1}<1+\frac{1}{n};$[/tex]
[tex]$(1+\frac{1}{n})^{n}<(1+\frac{1}{n+1})^{n+1};$[/tex]
[tex]$(1+\frac{1}{n})^{n}<3;$[/tex]
问题: 在有理数的集合里面,当[tex]n$\rightarrow\infty,$[/tex]那么[tex]$(1+\frac{1}{n})^{n}$[/tex]意味着什么?

设[tex]$x_{n}=(1+\frac{1}{n})^{n}$[/tex], 并假设[tex]$x_{\infty}=\frac{p}{q}$[/tex],
那么我们可以说[tex]$x_{1}

但是, [tex]$x_{\infty}\neq\frac{p}{q}$[/tex]

[tex]$$x_{n}=1^{n}+...+\frac{1}{n^{n}}[/tex]
[tex]=1+1+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n}...$$[/tex]

我现在手头只有四卷，不知道总共有多少卷？应该上了千页。