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几何

几何作为一类问题的解决方案,最早是从一个基本的物理对象上抽象出来的,即物理空间。这个抽象行为相当成功,2千多年前即得到了欧几里德几何学。
不过这个抽象对象-空间,具有多方面的特性,可以予以推广,从而切合更广泛问题的研究。
例1,把空间视作齐性对象或现象的集合,如果再加上该集合元素的连续性结构,设定好度量方法,就得到了Riemann空间,从而将之用于更为复杂的物理对象,例如相对论时空。
例2,关注空间的变换运算,抽象出流形及其变换群的概念,则不仅统一了欧氏几何学、仿射几何学、共形几何学、射影几何学,也延伸至Riemann空间以及具有其他联络的空间。
例3,关注空间的连续性结构,则在一般的集合上,可以获得拓扑学。

几何学的种种扩张所带来的基本价值之一是,我们可以籍由空间结构的性质进行推断,而不是仅仅依赖计算。

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