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理解无限的心理差异

无限是数学里面第一个锻炼人的形式抽象能力的概念,最近美国几位大学数学教师做了一个有意思的心理调查(Notices of AMS, August 2004),以了解对无限的不同理解.

他们给出如下几个具体的包含了一般所谓无限概念的问题:

1.古老的乌龟和健将Achilles赛跑的故事:如果乌龟的起跑点在Achilles的起跑点前面1米,那么Achilles不管能够跑多快都永远赶不上乌龟,因为当Achilles赶到乌龟起跑点时,乌龟肯定已经爬到该点前面一段距离的位置,等Achilles再赶到该位置时,乌龟在这段时间内还是向前爬了一段距离,如此反复下去,乌龟将永远在Achilles前面.
2.为什么一个变量的微分dx既可以被看成是一个大于0的数而对它进行计算,又常常可以当成0一样被忽略?
3. 0.999...=1?
4.取球1和球2放入篮子A,再取出球1放入篮子B;继续取球3和球4放入篮子A,再取出球2放入篮子B;...如此反复无限次做下去,每次都是取2个球放入A,再取出一个放入B。问最终篮子A里面会有多少个球?两种答案:无数个,因为每次都会使得篮子A里面增加一个球;一个球都没有,因为最终所有的球都会被取出放入篮子B。
5.如果让你向一个空集合一个个地放入数字1,2,3,...,永远持续下去是不是就能够得到自然数的完整集合?
6.用P(N)表示集合N的幂集,即N的所有子集的集合,取所有形如N({1,2,...,k})的集合的并集,k从1取到无穷。那么该并集是否就等于P(N),其中N为自然数集合?
7.是否可以用一种可数的方式来构造一个不可数的集合?

这7个问题都是非常经典的数学场景,并且已经有明确而标准的数学答案.但不同背景的人会如何理解这些问题并提供自己的答案呢?这个研究有几个方面的意义:首先现有数学标准答案正是从各种朴实想法当中发展出来的,而在每个数学学习者的个人心理方面也存在类似的发展历程.
这不仅是一个教育心理学的问题,也是一个人类心智发展历史的重要问题.

Comments

一种想法

有限与无限概念基本预设中悖论的发生,或许是因为“朴实想法”引入了自然时间并意图将时间归结于瞬间之点上?
请教yijun

悖论源于无知

那个与龟赛跑的悖论,其实是源于对于“无限”这个词的误用,而不是在时间的连续性假设上。
为什么说是对于无限这个词的误用呢?
先看那个悖论的结论:乌龟永远在那个人的前面。这里的永远,应该指的是无限大的时间,这是一个试图得到的结论,但是我们看前面的推导,推导里面的涉及的无限,则并非无限大,而是度量的无限次数,这两个无限,完全是两码事,这个悖论之悖就是打个马虎眼,暗渡陈仓,让你把此无限当彼无限。
至于时间的连续性假设,如何看待,在我的那个微积分入门里面有比较详细的说明,在这里:
http://krsna.lamost.org/popular/calculus_basic/2.htm

暗渡陈仓&瞒天过海

備周則意怠,常見則不疑.陰在陽之內,不在陽之對.太陽,太陰.

悖论的的确源于无知,但似乎和语言本身的非完备性有关。尽管我们可以假设某一种语言系统和现实世界的真理系统的一一对应,事实上却并非如此。即使是人类全部的语言的总集,也未必可以做到上述的对应,所以会有研究自然语言创立逻辑语言的必要,数学只是一个比较常见的例子。人们似乎随时在寻觅着思维对于存在的对应物,同时也在利用这种对应物寻找其相应的存在,常识就是已经确定了的这种对应,所以,一旦有常识之后或之上的存在隐藏在语言背后,人们的思维就紊乱了,行动上的盲目通常是这种紊乱的结果。

几点问题

1,这个世界上唯一具有完备性的只是具有明确完备定义的形式演算系统;
2,现实世界的真理系统?存在吗?即使存在,也最好不要称为真理系统;
3,“寻觅思维对于存在的对应物”,这样一种思维的方式,并不是好的,不过也算是一个环节。

有完备的世界观存在吗?

完备性这种东西似乎只要我们对宇宙还有好奇心便不可能长久存在。所有关于完美的想象都建立在有限的范围的甚至很有可能是自我陶醉的基础之上吧。

思维的边界

你的问题超出了我的知识范围,这是我非常乐意看到的。每个人的思维都有他难以逾越的边界,也就是他成长的上限。比较典型的案例:一个为思想而痛苦的农民.

"现实世界的真理系统"肯定是不存在的,这只是一个假定--假定有一个和现实世界对应的真理的完备集合.相信现象之后有真理是一种迷信,相信真理可以被发现和穷尽是狂妄,但是“知其不可而为之”似乎是人类的宿命。和那个农民哲学家相比,我觉得自己更多的是懦弱。我没有把哲学进行到底的雄心壮志,也没有参禅悟道的决心,我是知其不可而不为。"强烈的感情或者说情绪,当然是入道之门,甚至也可以说是入道之基。"---我缺少的正是这个.但是,阐释和论证完备就是哲学吗?那个农民究竟错在哪里了呢?中国人向来不重视阐释和论证的完备,这个传统是怎么形成和巩固下来的并不重要,问题是:如何实现阐释和论证的完备?悖论来源于无知,具体的说,应该是来源于对使用有限的语言来表达无限的真理的方法的无知。“那个与龟赛跑的悖论,其实是源于对于“无限”这个词的误用,而不是在时间的连续性假设上。”与其说是“误用”,不如说是误解--对于已经知道悖论的答案的人来说,是“误用”;对于不能看到“这两个无限,完全是两码事“的人来说,是”误解“。暗渡陈仓&瞒天过海比如是易经里面的卦象,是对同一现象观察的角度的差异。

这个方法是没有错的

“使用有限的语言来表达无限的真理的方法的无知”。我们必然要使用语言来表达,语言说出来了的必然是有限的,这是我们无法超越的一个环节。所以这个方法本身不是无知的表现,而是我们的认知法则之一。
语言,其实很简单,是我们的一个认知环节:我们的认知达到一定程度,就肯定可以用语言表达,但语言表达不是认知的结束,而是一个中间环节-这个中间环节的功用,得另外仔细讨论,但大体上是为了交流,自我与外部的交流,自我内部的交流。然后,语言形式的东西,是一个出发点,可以开始进一步的认知进程。

只是一个苹果而已

我提出的那个问题是“时间”概念的误用,而并没有好好对它作说明,谢谢yijun先生。
不过,我仍希望对这个概念的误用作出说明,以求批评。
在大学一年级的时候,我跟同学争这个芝诺悖论,结论是用一个苹果来分,不断分出它的二分之一,结果它永远也分不完。但是,不能够说,它分不完就是无限,它只是一个苹果而已

切割的每一下需要时间

正如先生指正的,这里将存有的“无限‘和分割的’无限”两者混淆。这个马虎眼儿值得玩味。
作为“原初素朴哲学时代”的芝诺,自然地将生活经验代入概念之中。在他眼中,切割的每一下是需要时间的。在他那里,无限的切割不知不觉与无限的时间等价了。于是,在一个以时间为主题的命题之中,因为乌龟兔子花的时间与切割要用的时间之间暧昧不清,就发生了矛盾。
在一种朴素的思维状态中,生活经验向概念的转度过程,我觉得有意味,但是那个问题显然没有问清楚,反而使人误会。
但这里究竟是不是这么一回事呢?

切割的每一下需要时间,那根据悖论的结论来推论

恐怕连第一次的切割都无法完成:)因为每切割一下都要事先切到这一切片的一半,在切到一半之前还有一半的一半需要切割。——如此说来,我能打这么多的字在这里真是奇迹了!

坦言之,没有完全明白yichengye先生的意思。
你说的悖论的结论是什么呢?
不过你说到了切割的次序,似乎是反着来的,
为什么要反着来呢?;)

是我表达的不清楚,我说的是切苹果的事情。

第一个悖论的结论似乎是“飞矢不动”--说老实话,我不知道怎么表达:) 用我自己的话说,就是:不论做什么事情都是不可能前进一步的,因为我们总要先完成这个事情的一半,而在完成这个事情的一半之前又必须完成这个事情的一半的一半,。。。,如此以来,我们根本上是什么事情也作不了!

至于你说的切割的次序是反着来的,却是我不明白的--为什么说我切割的次序是反的呢?切苹果的第一次切割需要切到这次切割的一半,在此之前要切到一半的一半,。。。,这就是我所说的切割的顺序。

--不过,我们的讨论也许真的是和这个帖子的主题有关了:理解无限的心理差异。

切割是否需要时间并非重点

重点在于“切割次数”这个数目的无限大,与“比赛时间”这个时间值的无限大,是指两个东西,不能由前一个东西推导出第二个东西,更不能认为前一个无限大等价于第二个无限大。
换用数学的概念,就是一个数列,项的数量的无限大和求和西格玛值的无限大,是两个对象。

如果你的意思是

如果你的意思是要追问这个悖论提出的认知心理背景,我认为“切割需要花时间”不是问题所在,这个问题里面只是涉及到设定时间有标记,不需要切割。

脚跟不稳被话说

我确实是想去发现它的认知心理背景,这个悖论是怎样在人的思维中发生的,尤其是归结到原初时代,可惜自己的脚跟就不稳了。
现在我明白yijun先生的意思了,确实不是重点!

实际上,本来那个意思在心里的时候还是,
无限的分时间使得人臆想无限时间的存在
但下意识为了找一个道说的方便,就寻了“切割的时间”来表述,
结果没有说话,倒被话说了。
真是错误啊!汗

错的原因还是在于
脚跟不稳
感谢yijun先生
:)

那个,逻辑学说从一

那个,逻辑学说从一个假命题可以推出所有命题成立,那从海森堡不确定原理是不是可以推出任何事都有可能发生?
另外,有个叫做倒向随机微分方程的东西,看上去在物理上很有用啊,怎么就用到金融上了?

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