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最基本的代数观念-模,源于我们数数的方法.

一个最原始，或者说最自然的标记方法: 自然映射，可以叙述为
[t]a\equiv b(mod c)[/t]
也可以叙述为:
[tex]modc:a\mapsto b[/tex]
基于这个映射做如下运算是不变的:
如果[tex]$modc:x\mapsto b; modc: y\mapsto d;$[/tex]
那么[tex]$mod c: x\pm y\mapsto b\pm d;$[/tex]
[tex]$modc: xy\mapsto bd.$[/tex]

=>任何多项式在此映射下是不变的.

模的观念=>素数.

Fermat Theorem:[t]$a^{p-1}-1\equiv0(mod p)$[/t]

Euler Theorem:[tex]$a^{k}-1\equiv0(mod b)$[/tex]

所以有人说，上帝创造了自然数，然后其他一切都是人为的：）

纯粹从集合关系来描述而非构造如下概念，即在进行集合运算的同时保持域结构，以得到：
域->中间域->子域->由子域并一个集合而生成一个扩域
|>
子域到域的扩张，更进一步可以看作是基于域构造向量空间的关系，这样一来，域的扩张过程，就不再只是纯粹集合描述，还可以运用向量空间的特征来加以刻画，例如扩域过程中空间维数的关系：
|>设$F_1 sube F_2 sube ... sube F_n$为一串域的扩张过程，则`F_n`在`F_1`上的维数$[F_n:F_1]=[F_n:F_(n-1)]\times...\times[F_2:F_1]$.

扩域的过程反过来，就得到素域的概念，即不会是任何域的扩域的域。对于素域存在一个自然的结构刻画：

<script type="text/javascript" src="http://krsna.lamost.org/ASCIIMathML.js">
</script>

半群：一个非空集合上的二元运算满足结合律。

幺半群：集合内存在该运算的单位元。

环本身就是一个乘法半群，反之一个含加法单位元的乘法半群却不必然通过引入加法而成为环。

半群的一个基本概念是正则性，即其任一元素皆存在其运算逆元。

半群的逆元比群的逆元要弱。

正则半群上：逆元总是唯一的`\iff`幂等元两两可换。

具有如此性质之正则半群称为逆半群。

由于集合上的自映射在合成运算上是结合的，如果映射非双射，则构成半群。

`\Omega`-代数第一同构定理